Question

18．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，已知CD=CA．
（1）求∠CAD的大�。�
（2）已知P是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，E是線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)，且AE＞EC），作EF⊥PC，垂足為F，連接EP，當(dāng)EF+EP的最小值為6時(shí)，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OC，如圖，由切線的性質(zhì)得∠OCD=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠D=∠CAD，∠CAD=∠OCA，然后利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算∠CAD的度數(shù)；
（2）連接OP，如圖，利用圓周角定理得∠COD=2∠CAD=60°，則∠AOC=120°，再根據(jù)圓心角與弧的關(guān)系得到∠POC=∠AOP=60°，利用垂徑定理得到OP⊥AC，則可判定△POC和△POA都是等邊三角形，則AC垂直平分OP，OF交AC于E，如圖，則EP=EO，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到OF=6，然后在Rt△POF中利用三角函數(shù)求OP的長(zhǎng)即可．

解答 解：（1）連接OC，如圖，
∵CD為切線，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵CD=CA，OC=OA，
∴∠D=∠CAD，∠CAD=∠OCA，
∵∠D+∠OCD+∠OCA+∠CAD=180°，
即∠CAD+90°+∠CAD+∠CAD=180°，
∴∠CAD=30°；
（2）連接OP，如圖，
∵∠COD=2∠CAD=60°
∴∠AOC=120°，
∵P是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，
∴∠POC=∠AOP=60°，OP⊥AC，
∴△POC和△POA都是等邊三角形，
∴AC垂直平分OP，
OF交AC于E，如圖，則EP=EO，
∵EF+EP=EF+EO=OF，
∴此時(shí)EP+EF最小，即OF=6，
∵OF⊥PC，
∴∠PFO=90°，∠POF=$\frac{1}{2}∠$POC=30°
在Rt△POF中，∵cos∠POF=$\frac{OF}{OP}$，
∴OP=$\frac{6}{sin30°}$=4$\sqrt{3}$，
即⊙O的半徑為4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．解決本題的關(guān)鍵是證明△POC和△POA都是等邊三角形．