Question

如圖，拋物線y=x²-4x+1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)；
（2）求△ABC的外接圓⊙D的半徑；
（3）若（2）中的⊙D交拋物線的對(duì)稱軸于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），在對(duì)稱軸右邊的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接PM、PN、PC，線段PC交弦MN于點(diǎn)G．若PC把圖形PMCN（指圓弧

MCN

和線段PM、PN組成的圖形）分成兩部分，當(dāng)這兩部分面積之差等于4時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接解方程得出y=0時(shí)x的值，即可得出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出AB的長(zhǎng)；
（2）利用DC=DA，結(jié)合勾股定理得出D點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）由（2）知，C是弧MN的中點(diǎn)，在半徑DN上截取EN=MG，進(jìn)而由圓的對(duì)稱性可得：圖形PMC的面積與圖形PECN的面積相等，由PC把圖形PMCN（指圓弧

MCN

和線段PM、PN組成的圖形）分成兩部分，這兩部分面積之差為4，得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）令y=0，得：x²-4x+1=0，
解得：x₁=2+

3

，x₂=2-

3

．          
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2-

3

，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2+

3

，0）． 
∴AB的長(zhǎng)為2

3

．           

（2）由已知得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），
由y=x²-4x+1=（x-2）²-3，
可知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，
設(shè)△ABC的外接圓圓心D的坐標(biāo)為（2，n），如圖①，連接AD、CD，
∴DC=DA，即2²+（n-1）²=[2-（2-

3

）]²+n²，
解得：n=1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1），
∴△ABC的外接圓⊙D半徑為2．
      
（3）解法一：由（2）知，C是弧MN的中點(diǎn)．
在半徑DN上截取EN=MG，
又∵DM=DN，∴DG=DE．
則點(diǎn)G與點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)D對(duì)稱，如圖②，連接CD、CE、PD、PE．
由圓的對(duì)稱性可得：圖形PMC的面積與圖形PECN的面積相等．       
由PC把圖形PMCN（指圓弧

MCN

和線段PM、PN組成的圖形）分成兩部分，這兩部分面積之差為4．
可知△PCE的面積為4．
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n）
∴S_△CEP=2S_△CDP=2×

1

2

•CD•|n-1|=4，
∴n₁=3，n₂=-1．         
由點(diǎn)P在拋物線y=x²-4x+1上，得：
x²-4x+1=3，
解得：x₁=2+

6

，x₂=2-

6

（舍去）；
或x²-4x+1=-1，
解得：x₃=2+

2

，x₄=2-

2

（舍去）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+

2

，-1）或（2+

6

，3）．      
解法二：
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n），點(diǎn)G坐標(biāo)為（2，c），直線PC的解析式為y=kx+b，
得：

b=1 n=km+b

，解得：

k= n-1 m b=1

，
∴直線PC的解析式為y=

n-1

m

x+1．       
當(dāng)x=2時(shí)，c=

2(n-1)

m

+1．
由（2）知，C是弧MN的中點(diǎn)，
連接CD，圖形PCN的面積與圖形PMC的面積差為：
|S_扇形DCN+S_△GCD+S_△PGN-（S_扇形MCD-S_△GCD+S_△PMG）|
=|2S_△GCD+S_△PGN-S_△PMG|，
=|2×

1

2

×2（c-1）+

1

2

（1+c）（m-2）-

1

2

（3-c）（m-2）|
=|2（c-10+

1

2

（2c-2）（m-2）|
=|（c-1）（2+m-2）|
=|[

2(c-1)

m

+1-1]m|
=|2（n-1）|
=4，
∴n₁=3，n₂=-1．          
由點(diǎn)P在拋物線y=x²-4x+1上，得：
x²-4x+1=3，解得：x₁=2+

6

，x₂=2-

6

（舍去）；
或x²-4x+1=-1，解得：x₃=2+

2

，x₄=2-

2

（舍去）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+

2

，-1）或（2+

6

，3）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及勾股定理以及一元二次方程的解法等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合三角形面積得出P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．