【題目】如圖,△ABC中,點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E,交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F.
(1)求證:OE=OF;
(2)若CE=8,CF=6,求OC的長(zhǎng);
(3)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形AECF是矩形?并說(shuō)明理由.

【答案】證明:(1)∵M(jìn)N交∠ACB的平分線于點(diǎn)E,交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F,
∴∠2=∠5,∠4=∠6,
∵M(jìn)N∥BC,
∴∠1=∠5,∠3=∠6,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EO=CO,F(xiàn)O=CO,
∴OE=OF;
(2)解:∵∠2=∠5,∠4=∠6,
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°,
∵CE=8,CF=6,
∴EF==10,
∴OC=EF=5;
(3)答:當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形.
證明:當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí),AO=CO,
∵EO=FO,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∵∠ECF=90°,
∴平行四邊形AECF是矩形.

【解析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2,∠3=∠4,進(jìn)而得出答案;
(2)根據(jù)已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°,進(jìn)而利用勾股定理求出EF的長(zhǎng),即可得出CO的長(zhǎng);
(3)根據(jù)平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可.

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(2)將△ABC繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°得到△A2B2C2 , 請(qǐng)畫(huà)出△A2B2C2;
(3)若點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,3);寫(xiě)出△A1B1C1與△A2B2C2的對(duì)稱中心的坐標(biāo)

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【題目】在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在邊BC所在的直線上,過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交直線AB于點(diǎn)F,DE∥AB交直線AC于點(diǎn)E.
(1)當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí),如圖①,求證:DE+DF=AC.
(2)當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖②;當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí),如圖③,請(qǐng)分別寫(xiě)出圖②、圖③中DE,DF,AC之間的數(shù)量關(guān)系,不需要證明.
(3)若AC=6,DE=4,則DF的值。

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(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)AB的坐標(biāo),并求出該二次函數(shù)的解析式.

(2)如圖1,在二次函數(shù)對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使的周長(zhǎng)最小,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如圖2,連接AC、BC,點(diǎn)Q是線段OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)Q不與點(diǎn)OB重合). 過(guò)點(diǎn)QQDAC交于BC點(diǎn)D,設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)(m,0),當(dāng)面積S最大時(shí),求m的值.

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