Question

3．如果方程x²+bx+c=0的兩個(gè)根是x₁、x₂，那么x₁+x₂=-b，x₁x₂=c，請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問(wèn)題：
（1）已知關(guān)于x的方程x²-（a+1）x+$\frac{1}{4}$a²+1=0的兩根之差的絕對(duì)值為$\sqrt{5}$，求a的值；
（2）已知關(guān)于x的方程x²+px+q=0（q≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=a+1，x₁x₂=$\frac{1}{4}$a²+1，根據(jù)|x₁-x₂|=$\sqrt{5}$即（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=5，代入解關(guān)于a的方程可得；
（2）根據(jù)韋達(dá)定理知x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，設(shè)新方程兩個(gè)分別為y₁、y₂，由y₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$、y₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$，可知y₁+y₂、y₁y₂，繼而可得新方程．

解答 解：（1）設(shè)方程x²-（a+1）x+$\frac{1}{4}$a²+1=0的兩根為x₁、x₂，
則x₁+x₂=a+1，x₁x₂=$\frac{1}{4}$a²+1，
∵|x₁-x₂|=$\sqrt{5}$，
∴（x₁-x₂）²=5，即（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=5，
∴（a+1）²-4（$\frac{1}{4}$a²+1）=5，
解得：a=4；

（2）方程x²+px+q=0（q≠0）中x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，
設(shè)新方程兩個(gè)分別為y₁、y₂，
則y₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$、y₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$，
∴y₁+y₂=$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=-$\frac{p}{q}$，
y₁y₂=$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{q}$，
故新方程為y²+$\frac{p}{q}$y+$\frac{1}{q}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．