Question

14．已知拋物線y=-x²+2x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A（-1，0）．拋物線與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)N在拋物線上，其橫坐標(biāo)為$\frac{5}{2}$．
（1）如圖1，連接BD，求直線BD的解析式；
（2）如圖2，連接BC，把△OBC沿x軸正方向平移，記平移后的三角形為△O′B′C′，當(dāng)點(diǎn)C′落在△BCD內(nèi)部時(shí)，線段B′C′與線段DB交于點(diǎn)M，設(shè)△O′B′C′與△BCD重疊面積為T，若T=$\frac{1}{3}$S_△OBC時(shí)，求線段BM的長度；
（3）如圖3，連接CN，點(diǎn)P為直線CN上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，連接CQ、PQ得△CPQ，當(dāng)△CPQ為等腰直角三角形時(shí)，求線段CP的長度．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求直線和拋物線解析式；
（2）根據(jù)BC∥B′C′和平移，得到直線B′C′解析式為y=-（x-m）+3=-x+3+m，再聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y=-x+3+m}\end{array}\right.$，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定出T，而T=$\frac{1}{3}$S_△OBC，求得BM；
（3）先求出直線CN的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，分三種情況，再由點(diǎn)Q既在拋物線y=-x²+2x+3上，又在直線CN為y=-$\frac{1}{2}$x+3上，確定出m即可．

解答 解：（1）將點(diǎn)A（-1，0）代入拋物線y=-x²+2x+c中得：
0=-1-2+c，解得：c=3，
∴拋物線y=-x²+2x+3=-（x-3）（x+1）=-（x-1）²+4，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，4）．
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{4=k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$．
∴直線BD的解析式為y=-2x+6．
（2）∵B（3，0），C（0，3），
直線BC解析式為y=-x+3，
∵BC∥B′C′，
k_B′C′=-1，
設(shè)平移距離為m，
∴0＜m＜$\frac{3}{2}$，
∴直線B′C′解析式為y=-（x-m）+3=-x+3+m，
∴O′（m，0）
∴O′C′與BC的交點(diǎn)E（m，3-m），
∴EO′=BO′=3-m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y=-x+3+m}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3-m}\\{y=2m}\end{array}\right.$，
∴T=S_{△B′O′C′}-S_△BB′N-S_△BO′E
=$\frac{9}{2}$-m×2m×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（3-m）²
=-$\frac{3}{2}$m²+3m，
∵T=$\frac{1}{3}$S_△OBC，
∴-$\frac{3}{2}$m²+3=$\frac{1}{3}$×$\frac{9}{2}$，
∴m=1，
∴M（2，2），
∴BM=$\sqrt{5}$，
（3）如圖，

當(dāng)x=$\frac{5}{2}$時(shí)，y=$\frac{7}{4}$，
∴N（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$），
∵C（0，3），
∴直線CN解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3
①∠PCQ=90°，
∴CQ⊥CN，
∴直線CQ解析式為y=2x+3，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴CQ與拋物線僅一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；
②當(dāng)∠CPQ=90°時(shí)，
∵CP=PQ，∠CFP=∠PEQ=90°，∠CPF=∠PQE，
∴△CFP≌△PEQ，
∴CF=PE，PF=QE，
設(shè)P（m，-$\frac{1}{2}$m+3），
∴PE=CF=$\frac{1}{2}$m，QE=PF=m，
Ⅰ、∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為PE+PF=$\frac{3}{2}$m，縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$m+3+m=$\frac{1}{2}$m+3
∴Q（$\frac{3m}{2}$，3），
∴$\frac{1}{2}$m+3=-（$\frac{3m}{2}$）²+2×$\frac{3m}{2}$+3，
∴m=0（舍）或m=$\frac{10}{9}$，
∴P（$\frac{10}{9}$，$\frac{22}{9}$）
∵C（0，3），
∴CP=$\frac{5\sqrt{5}}{9}$
Ⅱ、點(diǎn)Q在第四象限內(nèi)，同Ⅰ的方法得出Q（$\frac{1}{2}$m，-$\frac{3}{2}$m+3），
∴-$\frac{3}{2}$m+3=-（$\frac{1}{2}$m）²+2×$\frac{1}{2}$m+3，
∴m=0（舍）或m=10，
∴P（10，-2），
∴CP=5$\sqrt{5}$，
③當(dāng)∠CQP=90°，CQ=QP時(shí)，方法同上，
CP=$\frac{10\sqrt{5}}{9}$或CP=10$\sqrt{5}$；
即：CP的長度為$\frac{5\sqrt{5}}{9}$、$5\sqrt{5}$、$\frac{{10\sqrt{5}}}{9}$、$10\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求直線和拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，解本題的關(guān)鍵是求直線和拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，也是本題的難點(diǎn)．