Question

【題目】如圖①，已知拋物線(xiàn)y＝﹣x2+x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為Q，連接BC．

（1）求直線(xiàn)BC的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，在直線(xiàn)BC上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)線(xiàn)段PD最大時(shí)，求PM+MB最小值；

（3）如圖②，直線(xiàn)AQ交y軸于G，取線(xiàn)段BC的中點(diǎn)K，連接OK，將△GOK沿直線(xiàn)AQ平移得△G′O'K′，將拋物線(xiàn)y＝﹣x2+x+2沿直線(xiàn)AQ平移，記平移后的拋物線(xiàn)為y′，當(dāng)拋物線(xiàn)y′經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q時(shí)，記頂點(diǎn)為Q′，是否存在以G'、K'、Q'為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)G′的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣．（2）；（3）點(diǎn)G′坐標(biāo)為（）或（3，5）或（5，）或（4，）或（，）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求出B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．

（2）因?yàn)椤?/span>DPM是定值，推出當(dāng)PM的值最大時(shí)，PD的值最大，構(gòu)建二次函數(shù)求出PD最大時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)，在y軸上取一點(diǎn)G，使得sin∠GBC＝，作GK⊥BC于K，因?yàn)?/span>PM+BM＝PM+ME，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)P．M，E共線(xiàn)，且PE⊥BG時(shí)，PM+PE的值最小，由此求出點(diǎn)E坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．

（3）分三種情形構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

解：（1）令y＝0，﹣ x2+x+2＝0，解得x＝﹣1和4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

令x＝0，y＝2，

∴C（0，2），

設(shè)直線(xiàn)BC是解析式為y＝kx+b，則有，解得，

∴直線(xiàn)BC的解析式為y＝﹣x+2．

（2）如圖1中，作PM∥y軸交BC于M．

∵∠DPM是定值，

∴當(dāng)PM的值最大時(shí)，PD的值最大，設(shè)P（m，﹣ m2+m+2），則M（m，﹣m+2），

∴PM＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，

∵﹣＜0，

∴m＝2時(shí)，PM的值有最大值，即PD的值最大，此時(shí)P（2，3）．

在y軸上取一點(diǎn)G，使得sin∠GBC＝，作GK⊥BC于K，

∵sin∠GBK＝＝，設(shè)GK＝k，BG＝3k，則BK＝2k，

∵∠GCK＝∠BCO，∠GKC＝∠BOC＝90°，

∴△CKG∽△COB，

∴，

∴，

∴CK＝k，CG＝k，

∵CK+BK＝BC，

∴k+2k＝2，

∴k＝，

∴OG＝OC﹣CG＝，

∴G（0，），

∴直線(xiàn)BG的解析式為y＝﹣x+，

∵PM+BM＝PM+ME，

∴當(dāng)P．M，E共線(xiàn)，且PE⊥BG時(shí)，PM+PE的值最小，

∵PE⊥BG，

∴直線(xiàn)PE的解析式為y＝y＝x﹣2，

由，解得，

∴E（），

∴PE＝，

∴PM+BM的最小值為．

（3）如圖3中，存在．

由題意A（﹣1，0），Q（，），Q′（4，），C（0，2），K（2, ），

∴直線(xiàn)AQ的解析式為y＝x+，

∴G（0，），

設(shè)G′（a， a+），則K′（a+2， a+），

當(dāng)Q′G′＝Q′K′時(shí)，（a﹣4）2+（a﹣5）2＝（a﹣2）2+（a﹣）2，

解得a＝．

此時(shí)G（）.

當(dāng)Q′G′＝G′K′時(shí)，（a﹣4）2+（a﹣5）2＝22+（）2，

整理得：a2﹣8a+15＝0，

解得a＝3和5，

此時(shí)G′（（3，5）或（5，），

當(dāng)Q′K′＝G′K′時(shí)，（a﹣2）2+（a﹣）2＝22+（）2，

整理得：3a2﹣8a+15＝0，

解得a＝4和，

此時(shí)G′（4，）或（，），

綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)G′坐標(biāo)為（）或（3，5）或（5，）或（4，）或（，）．