【題目】ABC中,ACBC,∠ACBα,點(diǎn)D是平面內(nèi)不與點(diǎn)A和點(diǎn)B重合的一點(diǎn),連接DB,將線(xiàn)段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線(xiàn)段DE,連接AE、BECD

1)如圖①,點(diǎn)D與點(diǎn)A在直線(xiàn)BC的兩側(cè),α60°時(shí),的值是  ;直線(xiàn)AE與直線(xiàn)CD相交所成的銳角的度數(shù)是  度;

2)如圖②,點(diǎn)D與點(diǎn)A在直線(xiàn)BC兩側(cè),α90°時(shí),求的值及直線(xiàn)AE與直線(xiàn)CD相交所成的銳角∠AMC的度數(shù);

3)當(dāng)α90°,點(diǎn)D在直線(xiàn)AB的上方,SABDSABC,請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)C、D、E在同一直線(xiàn)上時(shí),的值.

【答案】1160;(2)∠AMC45°;(3的值為22+

【解析】

(1)延長(zhǎng)AE,CD交于點(diǎn)H,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知DE=BD,∠BDE=60°,從而可知△BDE,從而可證△ABE≌△CBD,從而可知,再根據(jù)角的關(guān)系即可求出∠AHB;

(2)先證△ABE∽△CBD,可以得到,∠BAE=∠BCD,繼而可以求出∠AMC的度數(shù);

(3)分兩種情況討論即可:①點(diǎn)D,點(diǎn)A在直線(xiàn)BC兩側(cè),②點(diǎn)A,點(diǎn)D在直線(xiàn)BC同側(cè).

(1)如圖1,延長(zhǎng)AE,CD交于點(diǎn)H,

∵將線(xiàn)段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線(xiàn)段DE,

∴DE=BD,∠BDE=60°,

∴△BDE是等邊三角形,

∴BD=BE,∠DBE=60°,

∵△ABC是等邊三角形,

∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,

∴∠ABE=∠CBD,且BE=BD,AB=BC,

∴△ABE≌△CBD(SAS)

∴AE=CD,∠DCB=∠BAE,

=1,

∵∠BAC+∠ACB=120°,

∴∠BAE+∠CAE+∠ACB=120°,

∴∠CAE+∠ACB+∠BCD=120°

∴∠CAE+ACH=120°,

∴∠AHB=60°,

故答案為:1,60.

(2)∵AC=BC,∠ACB=90°,

∴AB=BC,∠ABC=45°,

∵將線(xiàn)段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段DE,

∴DE=BD,∠BDE=90°,

∴BE=BD,∠DBE=45°,

∴∠DBE=∠ABC,

∴∠ABE=∠CBD,且,

∴△ABE∽△CBD,

,∠BAE=∠BCD,

∵∠BAC+∠ACB=135°=∠ACB+∠CAM+∠BAE,

∴∠ACB+∠CAM+∠BCD=∠CAM+∠ACM=135°,

∴∠AMC=45°;

(3)①若點(diǎn)D,點(diǎn)A在直線(xiàn)BC兩側(cè),如圖3,分別取AC,BC中點(diǎn)G,H,連接GH,

,

∴點(diǎn)D在直線(xiàn)GH上,

∵∠ACB=∠BDE=90°,AC=BC,DE=BD,

∴∠CAB=∠CBA=45°,∠DEB=∠DBE=45°,BE=BD,

∵點(diǎn)G,點(diǎn)H分別是AC,BC的中點(diǎn),

∴GH∥AB,

∴∠DHB=∠ABC=45°,

∵點(diǎn)C、E、D三點(diǎn)共線(xiàn),

∴∠CDB=90°,且點(diǎn)H是BC中點(diǎn),

∴DH=CH=BH,

∴∠HCD=∠HDC,且∠HCD+∠HDC=∠BHD=45°,

∴∠HCD=∠HDC=22.5°,

∵∠BED=∠BCE+∠CBE=45°,

∴∠BCE=∠CBE=22.5°,

∴BE=CE=BD,

∴CD=CE+DE=(+1)BD,

;

②若點(diǎn)A,點(diǎn)D在直線(xiàn)BC同側(cè),如圖4,分別取AC,BC中點(diǎn)G,H,連接GH,

,

∴點(diǎn)D在直線(xiàn)GH上,

∵∠ACB=∠BDE=90°,AC=BC,DE=BD,

∴∠CAB=∠CBA=45°,∠DEB=∠DBE=45°,BE=BD,

∵點(diǎn)G,點(diǎn)H分別是AC,BC的中點(diǎn),

∴GH∥AB,

∴∠DHC=∠ABC=45°,

∵點(diǎn)C、E、D三點(diǎn)共線(xiàn),

∴∠CDB=90°,且點(diǎn)H是BC中點(diǎn),

∴DH=CH=BH,

∴∠HBD=∠HDB,且∠HBD+∠HDB=∠CHD=45°,

∴∠HBD=∠HDB=22.5°,

∵∠ECB=67.5°,∠EBC=∠EBD+∠DBC=67.5°,

∴∠BCE=∠CBE=67.5°,

∴BE=CE=BD,

∴CD=CE﹣DE=(﹣1)BD,

,

綜上所述:的值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】一個(gè)不透明的口袋中裝有4個(gè)分別標(biāo)有數(shù)1,2,3,4的小球,它們的形狀、大小完全相同,小紅先從口袋里隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下數(shù)為x,小穎在剩下的3個(gè)球中隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下數(shù)為y,這樣確定了點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y).

(1)小紅摸出標(biāo)有數(shù)3的小球的概率是多少?.

(2)請(qǐng)你用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法表示出由x,y確定的點(diǎn)P(x,y)所有可能的結(jié)果.

(3)求點(diǎn)P(x,y)在函數(shù)y=﹣x+5圖象上的概率.

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1)寫(xiě)出下列圖形的寬距:

①半徑為1的圓:   ;

②如圖1,上方是半徑為1的半圓,下方是正方形的三條邊的窗戶(hù)形   ;

2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(﹣1,0)、B1,0),C是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn),連接AB、BC、CA所形成的圖形為S,記S的寬距為d

①若d2,求點(diǎn)C所在的區(qū)域的面積;

②若點(diǎn)C在⊙M上運(yùn)動(dòng),⊙M的半徑為1,圓心M在過(guò)點(diǎn)(0,2)且與y軸垂直的直線(xiàn)上.對(duì)于⊙M上任意點(diǎn)C,都有5≤d≤8,直接寫(xiě)出圓心M的橫坐標(biāo)x的取值范圍.

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