【題目】如圖:在平面直角坐標系xOy中,已知正比例函數(shù)y= 與一次函數(shù)y=﹣x+7的圖象交于點A.
(1)求點A的坐標;
(2)在y軸上確定點M,使得△AOM是等腰三角形,請直接寫出點M的坐標;
(3)如圖、設x軸上一點P(a,0),過點P作x軸的垂線(垂線位于點A的右側),分別交y= 和y=﹣x+7的圖象于點B、C,連接OC,若BC= OA,求△ABC的面積及點B、點C的坐標;
(4)在(3)的條件下,設直線y=﹣x+7交x軸于點D,在直線BC上確定點E,使得△ADE的周長最小,請直接寫出點E的坐標.
【答案】
(1)解:聯(lián)立得: ,
解得: ,
則點A的坐標為(3,4)
(2)解:根據(jù)勾股定理得:OA= =5,
如圖1所示,分四種情況考慮:
當OM1=OA=5時,M1(0,5);
當OM2=OA=5時,M2(0,﹣5);
當AM3=OA=5時,M3(0,8);
當OM4=AM4時,M4(0, ),
綜上,點M為(0,5)、(0,﹣5)、(0,8)、(0, )
(3)解:設點B(a, a),C(a,﹣a+7),
∵BC= OA= ×5=14,
∴ a﹣(﹣a+7)=14,
解得:a=9,
過點A作AQ⊥BC,如圖2所示,
∴S△ABC= BCAQ= ×14×(9﹣3)=42,
當a=9時, a= ×9=12,﹣a+7=﹣9+7=﹣2,
∴點B(9,12)、C(9,﹣2)
(4)解:如圖3所示,作出D關于直線BC的對稱點D′,連接AD′,與直線BC交于點E,連接DE,此時△ADE周長最小,
對于直線y=﹣x+7,令y=0,得到x=7,即D(7,0),
由(3)得到直線BC為直線x=9,
∴D′(11,0),
設直線AD′解析式為y=kx+b,
把A與D′坐標代入得: ,
解得: ,
∴直線AD′解析式為y=﹣ x+ ,
令x=9,得到y(tǒng)=1,
則此時點E坐標為(9,1)
【解析】(1)聯(lián)立正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式建立方程組,解方程組求解,即可求出點A的坐標。
(2)利用勾股定理求出OA的長,根據(jù)已知點M在x軸上,且△AOM是等腰三角形,分四種情況討論:當OM1=OA=5時,當OM2=OA=5時,當AM3=OA=5時,當OM4=AM4時,分別寫出點M的坐標。
(3)根據(jù)已知點P(a,0),過點P作x軸的垂線(垂線位于點A的右側),設出B與C坐標,表示出BC,由已知BC與OA關系,及OA的長求出BC的長,求出a的值,利用三角形的面積公式求出△ABC的面積,再求出a的值,即可確定出點B、C的坐標。
(4)作出D關于直線BC的對稱點D′,連接AD′,與直線BC交于點E,連接DE,此時△ADE周長最小,先求出點D′的坐標,再求出直線直線AD′解析式,即可求出點E的坐標。
【考點精析】掌握三角形的面積和等腰三角形的性質是解答本題的根本,需要知道三角形的面積=1/2×底×高;等腰三角形的兩個底角相等(簡稱:等邊對等角).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M為BC邊上的一點,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.求證:
(1)AM⊥DM;
(2)M為BC的中點.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,點D是BC邊上的點,CD=1,將△ABC沿直線AD翻折,使點C落在AB邊上的點E處,若點P是直線AD上的動點,則△PEB的周長的最小值是 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一次60秒跳繩測試中,10名同學跳的次數(shù)分別為170,190,180,150,180,180,160,200,180,190,則這次測試所跳次數(shù)的眾數(shù)為
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,點P是半圓上不與點A、B重合的動點,BC∥OP,BC=OP.
(1)求證:四邊形AOCP是平行四邊形;
(2)若AB=4,填空:
①當AP= 時,四邊形AOCP是菱形;
②當AP= 時,四邊形OBCP是正方形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知1號、4號兩個正方形的面積和為10, 2號、3號兩個正方形的面積和為7,則a,b,c三個方形的面積和為( )
A.17
B.27
C.24
D.34
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