【題目】已知拋物線L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的頂點P的坐標是,與y軸的交點是M(0,c)我們稱以M為頂點,對稱軸是y軸且過點P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線,直線PM為L的伴隨直線.
(1)請直接寫出拋物線y=2x2-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的關(guān)系式:
伴隨拋物線的關(guān)系式_________________
伴隨直線的關(guān)系式___________________
(2)若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x2-3和y=-x-3, 則這條拋物線的關(guān)系是___________:
(3)求拋物線L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴隨拋物線和伴隨直線的關(guān)系式;
(4)若拋物線L與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點x2>x1>0,它的伴隨拋物線與x 軸交于C,D兩點,且AB=CD,請求出a、b、c應(yīng)滿足的條件.
【答案】(1)y=-2x2+1,y=-2x+1. (2)y=x2-2x-3;(3)y=x+c;(4)b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).
【解析】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.
(1)先根據(jù)拋物線的解析式求出其頂點P和拋物線與y軸的交點M的坐標.然后根據(jù)M的坐標用頂點式二次函數(shù)通式設(shè)伴隨拋物線的解析式然后將P點的坐標代入拋物線的解析式中即可求出伴隨拋物線的解析式.根據(jù)M,P兩點的坐標即可求出直線PM的解析式;
(2)由題意可知:伴隨拋物線的頂點坐標是拋物線與y軸交點坐標,伴隨拋物線與伴隨直線的交點(與y軸交點除外)是拋物線的頂點,據(jù)此可求出拋物線的解析式;
(3)方法同(1);
(4)本題要考慮的a、b、c滿足的條件有:
拋物線和伴隨拋物線都與x軸有兩個交點,因此△>0,①
由于拋物線L中,x2>x1>0,因此拋物線的對稱軸x>0,兩根的積大于0.②
根據(jù)兩拋物線的解析式分別求出AB、CD的長,根據(jù)AB=CD可得出另一個需滿足的條件…③綜合這三種情況即可得出所求的a、b、c需滿足的條件.
解:(1)y=-2x2+1,y=-2x+1.
(2)y=x2-2x-3
(3)∵伴隨拋物線的頂點是(0,c),
∴設(shè)它的解析式為y=m(x-0)2+c(m≠0).
∴設(shè)拋物線過P,
∴
解得m=-a,∴伴隨拋物線關(guān)系式為y=-ax2+c.
設(shè)伴隨直線關(guān)系式為y=kx+c(k≠0).
∵P在此直線上,∴, ∴k=.
∴伴隨直線關(guān)系式為y=x+c
(4)∵拋物線L與x軸有兩交點,∴△1=b2-4ac>0,∴b2<4ac.
∵x2>x1>0,∴x1+ x2= ->0,x1x2=>0,∴ab<0,ac>0.
對于伴隨拋物線y=-ax2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax2+c=0,得x=.
∴,∴CD=2.
又AB=x2-x1=.
由AB=CD,得=2, 整理得b2=8ac,
綜合b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8ac,得a,b,c滿足的條件為b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)y=3x+2的圖象與y軸交于點A,與反比例函數(shù)y=(k≠0)在第一象限內(nèi)的圖象交于點B,且點B的橫坐標為1.過點A作AC⊥y軸交反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象于點C,連接BC.
(1)求反比例函數(shù)的表達式.
(2)求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在△ABP中,C是BP邊上一點,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圓,AD是⊙O的直徑,且交BP于點E.(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)過點C作CF⊥AD,垂足為點F,延長CF交AB于點G,若AG·AB=12,求AC的長;(3)在滿足(2)的條件下,若AF∶FD=1∶2,GF=1,求⊙O的半徑及sin∠ACE的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為2,正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切,正六邊形A3B3C3D3E3F3的外接圓與正六邊形A2B2C2D2E2F2的各邊相切,…按這樣的規(guī)律進行下去,A10B10C10D10E10F10的邊長為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,直線y=kx+b(k≠0)與兩坐標軸分別交于點B,C,點A的坐標為(-2,0)點D的坐標為(1,0)
(1)試確定直線BC的函數(shù)關(guān)系式.
(2)若p(x,y)是直線BC在第一象限內(nèi)的一個動點,試寫出△ADP的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當P運動到什么位置時,△ADP的面積為3?請寫出此時點P的坐標,并說明理由.
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【題目】探索:
(x-1)(x+1)=x2-1, (x-1)(x2+x+1)=x3-1,
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1, (x-1)(x4+x3+x2+x+1)=x5-1,
……
(1)試寫出第五個等式;
(2)試求26+25+24+23+22+2+1的值;
(3)判斷22 017+22 016+22 015+…+22+2+1的值的個位數(shù)字是幾.
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【題目】如圖,已知:∠BCF=∠B+∠F.求證:AB//EF .
證明:經(jīng)過點C作CD//AB
∴∠BCD=∠B.( )
∵∠BCF=∠B+∠F,(已知)
∴∠ ( )=∠F.( )
∴CD//EF.( )
∴AB//EF( )
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【題目】如圖.從下列四個條件:①BC=B′C,②AC=A′C,③∠A′CA=∠B′CB,④AB=A′B′中,任取三個為條件,余下的一個為結(jié)論,則最多可以構(gòu)成正確的結(jié)論的個數(shù)是( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
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【題目】如圖,在△ABC中,已知∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中點,點E、F分別在AC、BC邊上運動(點E不與點A、C重合),且保持AE=CF,連接DE、DF、EF.在此運動變化的過程中,有下列結(jié)論:
①四邊形CEDF有可能成為正方形;
②△DFE是等腰直角三角形;
③四邊形CEDF的面積是定值;
④點C到線段EF的最大距離為.
其中正確的結(jié)論是( )
A.①④ B.②③ C.①②④ D.①②③④
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