Question

【題目】如圖，已知二次函數 y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與 x 軸交于點 A（﹣1，0），對稱軸為直線 x＝1，與 y 軸的交點 B 在（0，2）和（0，3）之間（包括這兩點），下列結論正確的是_______________．

①當 x＞3 時，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＜8a．

Answer 1

【答案】①②③④．

【解析】

①根據拋物線的對稱性求出與x軸的另外一個交點，觀察圖形即可判斷其正確性

②把拋物線的對稱軸用含有a、b的代數式表示出來，其開口方向又向下，即可判斷其正確

③根據拋物線的解析式求出與y軸的交點用含有a的代數式表示出來，又已知在2和3之間即可求得a的取值范圍

④有拋物線的解析式求出與y軸的交點用含有c的代數式表示出來，又已知在2和3之間即可求證

解：①由拋物線的對稱性可求得拋物線與x軸另一個交點的坐標為（3，0），當 x＞3 時，y＜0，故①正確；

②拋物線開口向下，故 a＜0，

∵x＝﹣，

∴2a+b＝0．

∴3a+b＝0+a＝a＜0，故②正確；

③設拋物線的解析式為 y＝a（x+1）（x﹣3），則 y＝ax2﹣2ax﹣3a，令 x＝0 得：y＝﹣3a．

∵拋物線與 y 軸的交點 B 在（0，2）和（0，3）之間，

∴2≤﹣3a≤3．

解得：﹣1≤a≤- ，故③正確；

④．∵拋物線 y 軸的交點 B 在（0，2）和（0，3）之間，

∴2≤c≤3，

由 4ac﹣b2＞8a 得：4ac﹣8a＞b2，

∵a＜0，

∴c﹣2＜ ，

∴c﹣2＜0，

∴c＜2，與 2≤c≤3 矛盾，故 4ac﹣b2＜8a，④正確．

故答案為：①②③④．