【題目】已知在RtABC中,∠BAC90°,CD為∠ACB的平分線,將∠ACB沿CD所在的直線對折,使點B落在點B′處,連結AB',BB',延長CDBB'于點E,設∠ABC2α(0°<α<45°).

1)如圖1,若ABAC,求證:CD2BE;

2)如圖2,若ABAC,試求CDBE的數(shù)量關系(用含α的式子表示);

3)如圖3,將(2)中的線段BC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角(α+45°),得到線段FC,連結EFBC于點O,設COE的面積為S1,△COF的面積為S2,求(用含α的式子表示).

【答案】1)證明見解析;(2CD2BEtan2α;(3sin45°﹣α).

【解析】

(1)由翻折可知:BE=EB′,再利用全等三角形的性質(zhì)證明CD=BB′即可;

(2) 如圖 2 中, 結論:CD=2BEtan2α.只要證明△BAB′∽△CAD,可得,推出,可得CD=2BEtan2α;

(3) 首先證明∠ECF=90°,由∠BEC+ECF=180°,推出BB′∥CF,推出sin(45°﹣α),由此即可解決問題.

(1)如圖1中,

B、B′關于EC對稱,

∴BB′⊥EC,BE=EB′,

∴∠DEB=∠DAC=90°,

∵∠EDB=∠ADC

∴∠DBE=∠ACD,

ABAC,∠BAB′=∠DAC=90°,

∴△BAB′≌CAD,

CD=BB′=2BE;

(2)如圖2中,結論:CD=2BEtan2α,

理由:由(1)可知:∠ABB′=∠ACD,∠BAB′=∠CAD=90°,

∴△BAB′∽△CAD

,

,

CD=2BEtan2α;

(3)如圖 3中.在RtABC中,∠ACB=90°﹣2α,

EC平分∠ACB,

∴∠ECB(90°﹣2α)=45°﹣α,

∵∠BCF=45°+α,

∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°,

∴∠BEC+ECF=180°,

∴BB′∥CF,

sin(45°﹣α)

sin(45°﹣α)

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;

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