Question

已知：△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F．

(1）如圖l，若△ABC為銳角三角形，且∠ABC=45°，過點F作FG∥BC，交直線AB于點G，求證：FG＋DC=AD；

(2）如圖2，若∠ABC=135°，過點F作FG∥BC，交直線AB于點G，則FG、DC、AD之間滿足的數(shù)量關系是____________________________________；

（3）在(2)的條件下，若AG=，DC=3，將一個45°角的頂點與點B重合并繞點B旋轉，這個角的兩邊分別交線段FG于M、N兩點（如圖3），連接CF，線段CF分別與線段BM、線段BN相交于P、Q兩點，若NG=，求線段PQ的長．

Answer 1

不扣分）

(3)解: ∵FG=FA,∠AFG=90°,AG=5,則FA=FG=5;DC=3,則DF=3.

AD=FA-DF=2=DB,BC=DC-DB=3-2=1;FC==3.

作BH⊥FG于H,則BH=HG=DF=3;作NT⊥AG于T,NG=,NT=TG=;

BG=AG-AB=5-2=3,BT=BG-TG=;

∵∠MBN=∠HBG=45°,則∠MBH=∠NBT;又∠BHM=∠BTN

∴△MBH∽△NBT, ,MH=1. FM=FG-MH-HG=5-1-3=1.

DC∥FG, ,,FP==;

又,,,FQ=.

所以PQ=FQ-FP=-=.（12分）