Question

如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=4

2

，D是線段BC上的一個動點（包括點B，C），以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，連接EF，則過點E，D，F(xiàn)三點的弓形的面積S的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：扇形面積的計算,垂徑定理,解直角三角形

專題：

分析：分別利用當AD⊥BC時，AD最短，此時EF最短，則過點E，D，F(xiàn)三點的弓形的面積S最小，當B，D，E重合時，過點E，D，F(xiàn)三點的弓形的面積S最大，
求出即可．

解答：解：當AD⊥BC時，AD最短，此時EF最短，則過點E，D，F(xiàn)三點的弓形的面積S最小，
如圖1所示：連接EO，F(xiàn)O，過點O作ON⊥EF，于點N，
∵AD⊥BC，∠ABC=45°，AB=4

2

，
∴AD=BD=4，
∵∠BAC=60°，
∴∠EOF=120°，
∴∠EON=60°，
∴NO=

1

2

EO=1，
∴EN=

3

，
∴EF=2

3

，
∴過點E，D，F(xiàn)三點的弓形的面積S為：
S_扇形OEF-S_△OEF=

120π×22

360

-

1

2

×1×2

3

=

4π

3

-

3

，
同理可得出：如圖2，當B，D，E重合時，過點E，D，F(xiàn)三點的弓形的面積S最大，
S_扇形OEF-S_△OEF=

120×π×(2 2 )2

360

-

1

2

×

2

×2

6

=

8π

3

-2

3

．
則過點E，D，F(xiàn)三點的弓形的面積S的取值范圍是：

4π

3

-

3

≤S≤

8π

3

-2

3

．
故答案為：

4π

3

-

3

≤S≤

8π

3

-2

3

．

點評：此題主要考查了垂徑定理以及扇形面積公式和銳角三角函數(shù)關系等知識，得出弓形面積的最值是解題關鍵．