Question

12．如圖，△ABC三邊的長分別為AB=4，BC=5，CA=6，直線l∥BC分別交△ABC的兩邊AB、AC于點M、N．
（1）若直線l平分△ABC的面積，則線段MN的長為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
（2）若直線l過△ABC的內(nèi)心I，試求MN的長為$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質(zhì)得出△AMN∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{MN}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求出MN的長；
（2）連接BI、CI，由平行線的性質(zhì)解三角形的內(nèi)心性質(zhì)得出∠MIB=∠MBI，∠NIC=∠NCI，證出BM=IM，CN=IN，由平行線的性質(zhì)得出△AMN∽△ABC，得出$\frac{AM}{MN}=\frac{AB}{BC}$=$\frac{4}{5}$，$\frac{AN}{MN}=\frac{AC}{BC}$=$\frac{6}{5}$，設(shè)AM=4a，則MN=5a，得出BM=4-4a，CN=6-6a，得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵直線l平分△ABC的面積，
∴△ABC的面積=2△AMN的面積，
∵l∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{MN}{BC}$=$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{MN}{5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴MN=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
故答案為：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
（2）連接BI、CI，如圖所示：
∵MN∥BC，
∴∠MIB=∠IBC，∠NIC=∠ICB，
∵I為△ABC的內(nèi)心，
∴∠MBI=∠IBC，∠NCI=∠ICB，
∴∠MIB=∠MBI，∠NIC=∠NCI，
∴BM=IM，CN=IN，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{AM}{MN}=\frac{AB}{BC}$=$\frac{4}{5}$，$\frac{AN}{MN}=\frac{AC}{BC}$=$\frac{6}{5}$，
設(shè)AM=4a，則MN=5a，
∴BM=4-4a，CN=6-6a，
∴5a=4-4a+6-6a，
解得：a=$\frac{2}{3}$，
∴MN=5×$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{3}$；
故答案為：$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)心性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．