Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△A0B是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直線l與x軸、0A、AB分別交于點(diǎn)C、D、E，0C=AE．過(guò)點(diǎn)E作EF∥0A，交x軸于點(diǎn)F．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；（結(jié)果保留根號(hào)）
（2）求證：點(diǎn)C、F關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；
（3）若AD=EF．求直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知：AO=3、∠AOM=60°，在Rt△AMO中利用30°角的對(duì)邊為斜邊的一半結(jié)合勾股定理可求出AM、OM的長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）由EF∥0A利用平行線的性質(zhì)可得出∠BFE=∠BOA=60°，結(jié)合∠OBA=60°可得出△BEF為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出BE=BF可得出BE=BF、BO=BA，進(jìn)而即可得出AE=OF，再由OC=AE即可得出OC=OF，從而證出點(diǎn)C、F關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；
（3）設(shè)OC=OF=x，根據(jù)邊與邊的關(guān)系找出∠OCD=∠ODC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠CEF=∠CDO=∠ECF，進(jìn)而可得出CF=EF，由此即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，如圖1所示．

∵△A0B是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，
∴AB=OB=OA=3，且∠AOM=60°．
在Rt△AMO中，OA=3，∠AOM=60°，
∴∠OAM=30°，
∴OM=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3}{2}$，AM=$\sqrt{O{A}^{2}-O{M}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
故答案為：（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
（2）證明：若證C、F關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，只需證OC=OF即可．
∵EF∥OA，
∴∠BFE=∠BOA=60°，
∵∠OBA=60°，
∴△BEF為等邊三角形，
∴BE=BF．
∵△AOB是等邊三角形，
∴BO=BA，
∴AE=AB-BE=OB-BE=OF，
又∵0C=AE，
∴OC=OF．
∴點(diǎn)C、F關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
（3）設(shè)OC=OF=x，
∵OB=3，
∴BF=EF=3-x，
∵AD=EF，
∴AD=3-x．
∵OA=3，
∴OD=x，
∴∠OCD=∠ODC．
∵OA∥EF，
∴∠CEF=∠CDO=∠ECF，
∴EF=CF，即3-x=2x，
解得：x=1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
設(shè)直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，
將點(diǎn)C（-1，0）、點(diǎn)D（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式中，
得$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+b}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$．
故直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、解直角三角形以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵：（1）在Rt△AMO中求出AM、OM的長(zhǎng)；（2）證出AE=OF；（3）求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)．本題屬于中檔題，整體難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)等邊（等腰）三角形的性質(zhì)找出相等的邊，再通過(guò)30°角以及勾股定理找出各邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．