Question

3．如圖，拋物線y=-x²+2x+3經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，拋物線頂點(diǎn)為E，EF⊥x軸于F點(diǎn)，M（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N是線段EF上一點(diǎn)，若∠MNC=90°，則實(shí)數(shù)m的變化范圍為-$\frac{5}{4}$≤m≤5．

Answer 1

分析 先求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，n），0≤n≤4，依據(jù)待定系數(shù)法求得NC的解析式（用含n的式子表示），然后根據(jù)相互垂直的兩直線的一次項(xiàng)系數(shù)為-1可得到直線MN的一次項(xiàng)系數(shù)，然后由點(diǎn)N的坐標(biāo)可求得MN的解析式（用含n的式子表示），接下來，令y=0可求得m的值（用含n的式子表示），最后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得m的最大值和最小值即可求得m的取值范圍．

解答 解：如圖所示：
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）．
∵將x=0代入y=-x²+2x+3得：y=3，
∴C（0，3）．
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，n），0≤n≤4．
設(shè)直線CN的解析式為y=kx+3．
將N（1，n）代入得：k+3=n，解得：k=n-3．
∵∠MNC=90°，
∴直線NM的一次項(xiàng)系數(shù)為$\frac{1}{3-n}$．
設(shè)直線MN的解析式為y=$\frac{1}{3-n}$x+b．
∵將N（1，n）代入得：$\frac{1}{3-n}$+b=n，解得：b=n-$\frac{1}{3-n}$，
∴直線MN的解析式為y=$\frac{1}{3-n}x+$n-$\frac{1}{3-n}$．
∵當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{1}{3-n}x+$n-$\frac{1}{3-n}$=0，
解得：x=n²-3n+1，即m=n²-3n+1．
∵m=n²-3n+1=（n-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，
∴當(dāng)n=$\frac{3}{2}$時(shí)，m有最小值-$\frac{5}{4}$．
當(dāng)n=4時(shí)，m有最大值，m的最大值=4²-3×4+1=5．
∴m的取值范圍是：-$\frac{5}{4}$≤m≤5．
故答案為：-$\frac{5}{4}$≤m≤5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了配方法求二次函數(shù)的最值、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、相互垂直的兩條直線的特點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，得到m與n的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．