Question

20．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，OA=6，以O(shè)A為邊長(zhǎng)作等邊三角形ABC，使得BC∥OA，且點(diǎn)B、C落在過(guò)原點(diǎn)且開口向下的拋物線上．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）在圖①中，假設(shè)一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BAC的方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的負(fù)半軸方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，P、Q都同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，在P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在時(shí)間t，使得PQ⊥AB，若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在BC邊上取兩點(diǎn)E、F，使BE=EF=1個(gè)單位，試在AB邊上找一點(diǎn)G，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使得四邊形EGHF的周長(zhǎng)最小，并求出周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)可先求得B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；
（2）用t可分別表示出BP、AP和AQ，在Rt△APQ中，可得到AQ=2AP，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；
（3）作E點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E′，可知E′在OB上，作F關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接E′F′，分別交AB于G，交對(duì)稱軸于H，則E′F′=EG+GH+HF，此時(shí)四邊形EGHF的周長(zhǎng)最小，過(guò)E′、F′分別作x軸的垂線，可分別求得E′、F′的坐標(biāo)，可求得E′F′的長(zhǎng)，可求得四邊形EGHF的周長(zhǎng)的最小值．

解答 解：
（1）如圖1，連接OB，分別作BM⊥x軸，CN⊥x軸，垂足分別為M、N，

∵BC∥x軸，△ABC為等邊三角形，
∴∠BAO=∠ABC=60°，OA=AB=BC=6，
∴△OAB為等邊三角形，
∴OM=$\frac{1}{2}$OA=3，BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=3$\sqrt{3}$=CN，且ON=OM+MN=OM+BC=9，
∴B（3，3$\sqrt{3}$），C（9，3$\sqrt{3}$），
∵拋物線過(guò)原點(diǎn)O，
∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx，
把B、C坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=3\sqrt{3}}\\{81a+9b=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{9}}\\{b=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x；
（2）如圖2，連接PQ，

由題意可知BP=2t，OQ=t，則AP=6-2t，AQ=6+t，
當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，在△APQ中，∠PQA=30°，
∴AQ=2AP，
∴6+t=2（6-2t），解得t=$\frac{6}{5}$，
∴當(dāng)t的值為$\frac{6}{5}$時(shí)，PQ⊥AB；
（3）如圖3，作E點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E′，可知E′在OB上，作F關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接E′F′，分別交AB于G，交對(duì)稱軸于H，

則EG=E′G，F(xiàn)H=F′H，
由線段最短可知此時(shí)EG+GH+FH=E′F′，
則此時(shí)的G、H即為滿足條件的點(diǎn)，即四邊形EGHF的周長(zhǎng)最小，
分別過(guò)E′，F(xiàn)′，B作x軸的垂線，垂足分別為R、S、T，
由（1）可知BT=F′S=3$\sqrt{3}$，
∵BE=EF=1，
∴BE′=1，則OE′=OB-BE′=5，AS=1，
∴OS=OA+1=7，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（7，3$\sqrt{3}$），
在△ORE′中，OR=$\frac{1}{2}$OE′=$\frac{5}{2}$，RE′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OE′=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
∴E′F′=$\sqrt{（7-\frac{5}{2}）^{2}+（3\sqrt{3}-\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∵EF=1，
∴四邊形EGHF的周長(zhǎng)最小值=EF+E′F′=1+$\sqrt{21}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)等．在（1）中求得B、C點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中把所求線段用t表示出，化動(dòng)為靜，在（3）中確定出G、H的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性很強(qiáng)，特別是第（3）問(wèn)是個(gè)難點(diǎn)．