Question

【題目】如圖①，已知拋物線y＝＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A、，與y軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)． 拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線和直線的解析式；

（2）判斷△BCD的形狀并說(shuō)明理由．

（3）如圖②，若點(diǎn)E是線段BC上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥x軸于點(diǎn)F，EF交線段BC于點(diǎn)G，當(dāng)△ECG是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）是直角三角形；（3）或.

【解析】

（1）將點(diǎn)B、點(diǎn)C坐標(biāo)代入y＝＋bx＋c可得拋物線解析式，設(shè)直線BC的解析式為，將點(diǎn)B、點(diǎn)C坐標(biāo)代入可得直線解析式；

（2）根據(jù)拋物線解析式可得點(diǎn)D坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出BC、BD、CD長(zhǎng)，可判斷出△BCD的形狀；

（3）設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)△ECG是直角三角形時(shí)，分①，此時(shí)，根據(jù)點(diǎn)E和點(diǎn)C縱坐標(biāo)相同求解即可；②，即，根據(jù)直線EC和直線KC的k值乘積為-1，可確定直線EC的解析式，將點(diǎn)E代入求解即可.

解：（1）將點(diǎn)，點(diǎn)代入y＝＋bx＋c可得

，解得

設(shè)直線BC的解析式為，將點(diǎn)B、點(diǎn)C坐標(biāo)代入得

，解得

所以拋物線的解析式為，直線的解析式為；

（2）是直角三角形.

是直角三角形；

（3）當(dāng)△ECG是直角三角形時(shí)，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為，

①如圖，，此時(shí)，點(diǎn)E和點(diǎn)C縱坐標(biāo)相同，

解得（舍去）或，

②如圖，，即，

設(shè)直線EC的解析式為

由點(diǎn)可知，

將點(diǎn)E代入得，

解得（舍去）或，

；

綜上所述，當(dāng)△ECG是直角三角形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或.