【題目】已知拋物線l1:y=﹣x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線l2經(jīng)過點(diǎn)A,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E(4,0),與y軸交于點(diǎn)D(0,﹣2).

(1)求拋物線l2的解析式;
(2)點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合),過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線l1于點(diǎn)M,交拋物線l2于點(diǎn)N.
①當(dāng)四邊形AMBN的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②當(dāng)CM=DN≠0時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
(1)解:∵令﹣x2+2x+3=0,解得:x1=﹣1,x2=3,

∴A(﹣1,0),B(3,0).

設(shè)拋物線l2的解析式為y=a(x+1)(x﹣4).

∵將D(0,﹣2)代入得:﹣4a=﹣2,

∴a=

∴拋物線的解析式為y= x2 x﹣2


(2)解:①如圖1所示:

∵A(﹣1,0),B(3,0),

∴AB=4.

設(shè)P(x,0),則M(x,﹣x2+2x+3),N(x, x2 x﹣2).

∵M(jìn)N⊥AB,

∴SAMBN= ABMN=﹣3x2+7x+10(﹣1<x<3).

∴當(dāng)x= 時(shí),SAMBN有最大值.

∴此時(shí)P的坐標(biāo)為( ,0).

②如圖2所示:作CG⊥MN于G,DH⊥MN于H,如果CM與DN不平行.

∵DC∥MN,CM=DN,

∴四邊形CDNM為等腰梯形.

∴∠DNH=∠CMG.

在△CGM和△DNH中

∴△CGM≌△DNH.

∴MG=HN.

∴PM﹣PN=1.

設(shè)P(x,0),則M(x,﹣x2+2x+3),N(x, x2 x﹣2).

∴(﹣x2+2x+3)+( x2 x﹣2)=1,解得:x1=0(舍去),x2=1.

∴P(1,0).

當(dāng)CM∥DN時(shí),如圖3所示:

∵DC∥MN,CM∥DN,

∴四邊形CDNM為平行四邊形.

∴DC=MN.=5

∴﹣x2+2x+3﹣( x2 x﹣2)=5,

∴x1=0(舍去),x2= ,

∴P( ,0).

總上所述P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),或( ,0).


【解析】1、直線l2經(jīng)過A、D、E三點(diǎn),只需求出A點(diǎn)坐標(biāo),就可以求出直線l2的解析式;2、①四邊形AMBN的對角線互相垂直,SAMBN= ABMN,由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求出線段AB的長,MN⊥AB得出點(diǎn)P、M、N三點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同,設(shè)P(x,0),可以表示出點(diǎn)M、N的坐標(biāo),從而列出s與x的函數(shù)關(guān)系式,求得s的最大值時(shí),x的值,于是就可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo);②當(dāng)CM=DN≠0時(shí),分兩種情況,當(dāng)CM∥DN時(shí)四邊形CDNM為平行四邊形;當(dāng)CM不平行 DN時(shí),四邊形CDNM為等腰梯形.就可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

練習(xí)冊系列答案
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