Question

1．如圖，拋物線y=x²-4x+3與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點，點P為對稱軸右側(cè)的拋物線上一點，若tan∠PCB=2，求P點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 根據(jù)題意首先得出直線BC的解析式，進(jìn)而利用PR的長結(jié)合tan∠PCB=2得出P點橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出答案．

解答 解：過P作PQ⊥X軸于Q，交CB延長線于R，過P作PH⊥BC于H，
設(shè)P（m，m²-4m+3），
∵拋物線y=x²-4x+3與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點，
∴x=0，則y=3；
y=0，則0=x²-4x+3，
解得：x₁=1，x₂=3，
故A（1，0），B（3，0），C（0，3），
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
故直線BC解析式：y=-x+3，
∴R（m，-m+3），PR=m²-4m+3-（-m+3）=m²-3m，
∵OB=OC=3，∴∠CBQ=135°，∴∠HPR=45°，
∵CO=OB，
∴∠OCR=45°，
∴CR=$\sqrt{2}$OQ=$\sqrt{2}$m，
∴PH=RH=PR÷$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（m-3），
又CR=$\sqrt{2}$OQ=$\sqrt{2}$m，
∴CH=$\sqrt{2}$m-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（m-3）
=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（m-5）
由tan∠PCB=$\frac{PH}{CH}$=-$\frac{m-3}{m-5}$=2，
解得：m=$\frac{13}{3}$，
則m²-4m+3=$\frac{40}{9}$，
故P（$\frac{13}{3}$，$\frac{40}{9}$）．

點評 此題主要考查了拋物線與x軸的交點，正確結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出P點橫坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．