Question

2．（1）如圖1，四邊形ABEC是正方形，點D為△ABC內(nèi)一點，且BD=AB，CD=AD，求∠CBD的度數(shù)和∠CBD與∠DBA的度數(shù)比值．
（2）如圖2，若把（1）中的△ABC變?yōu)橐话愕娜切危ā螧AC≠90°，AC≠AB），但D依然是△ABC內(nèi)一點，且滿足∠BAC=2∠BCA，BD=AB，CD=AD，此時∠CBD與∠DBA的度數(shù)比值是否與（1）中的相同，寫出你猜想的結(jié)論并加以證明．

Answer 1

分析 （1）作DM⊥AB，DN⊥AC垂足分別為M、N．由DM=AN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB推出BD=2DM，故∠DBM=30°即可解決問題．
（2）作BM∥AC，使得∠MCA=∠BAC，連接DM，先證△MCD≌△BAD得DM=DB，再由MC=MB得△DBM是等邊三角形，在△ABC中利用內(nèi)角和定理即可解決．

解答 解：（1）如圖1，作DM⊥AB，DN⊥AC垂足分別為M、N．
∵DC=DA，DN⊥AC，
∴CN=AN=$\frac{1}{2}$AC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AC，∠CAB=90°，∠CBA=45°，
∵∠DNA=∠NAM=∠DMA=90°，
∴四邊形DNAM是矩形，
∴DM=AN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB，
在RT△DBM中，∵∠DMB=90°，BD=AB，
∴BD=2DM，
∴∠DBM=30°，
∴∠CBD=∠ABC-∠DBM=15°，
∴∠CBD：∠DBA=15°：30°=1：2．
（2）相同，∠CBD：∠ABD=1：2，理由如下：
如圖2中，作BM∥AC，使得∠MCA=∠BAC，連接DM．
∵∠ABC≠90°，AC≠AB，
∴∠MCA+∠CAB≠180°，
∴AB與CM不平行，
∴四邊形ABMC是等腰梯形，
∴CM=AB，
∵DC=DA，
∴∠DCA=∠DAC，
∴∠MCD=∠BAD，
在△MCD和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=AB}\\{∠NCD=∠BAD}\\{CD=AD}\end{array}\right.$，
∴△MCD≌△BAD，
∴DM=DB，
∵∠BAC=2∠ACB=∠MCA，
∴∠MCB=∠BCA=∠MBC，
∴MB=MC，
∴BM=DM=DB，
∴△DBM是等邊三角形，
∴∠MBD=60°，
∴∠ACB=∠MBC=60°-∠DBC，
∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠BDB，
∵∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，
∴60°-∠DBC+120°-2∠DBC+∠DBC+∠ABD=180°，
∴∠ABD=2∠DBC，
即∠CBD：∠ABD=1：2．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，通過添加輔助線構(gòu)造特殊三角形是解題的關(guān)鍵．