Question

【題目】如圖，AB是⊙O的一條弦，C、D是⊙O上的兩個(gè)動點(diǎn)，且在AB弦的異側(cè)，連接CD．

（1）若AC=BC，AB平分∠CBD，求證：AB=CD；

（2）若∠ADB=60°，⊙O的半徑為1，求四邊形ACBD的面積最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）證=＝即可得=，繼而求證結(jié)論；

（2）如圖,連接OA、OB、OC，OC交AB于H，由∠ADB=60°和AC=BC 求得∠ADC=∠BDC= =30°，OC⊥AB，AH=BH ，繼而求出AB的長，由S四邊形ABCD＝S△ABD+ S△ABC可知，當(dāng)D點(diǎn)為優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，即CD為⊙O的直徑時(shí)，四邊形ACBD的面積最大，進(jìn)而求解．

（1）∵AC=BC，

∴=

∵AB平分∠CBD，

∴∠ABC=∠ABD，

∴=，

∴=，

∴AB=CD；

（2）連接OA、OB、OC，OC交AB于H，如圖，

∵=，

∴∠ADC=∠BDC=∠ADB=30°，OC⊥AB，AH=BH，

∴∠BOC=60°，

∴OH= OB=，BH= OH=，

∴AB=2BH=．

∵四邊形ACBD的面積=S△ABC+S△ABD，

∴當(dāng)D點(diǎn)到AB的距離最大時(shí)，S△ABD的面積最大，四邊形ACBD的面積最大，此時(shí)D點(diǎn)為優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，

即CD為⊙O的直徑時(shí)，四邊形ACBD的面積最大，

∴四邊形ACBD的面積最大值為 ×2=．