Question

9．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，E為AB的中點(diǎn)，連接CE，BD，過(guò)點(diǎn)E作FE⊥CE于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接CF，已知2AD=AB=BC．
（1）求證：CE=BD；
（2）若AB=4，求AF的長(zhǎng)度；
（3）求sin∠EFC的值．

Answer 1

分析 （1）由E為AB的中點(diǎn)，得到AB=2BE，等量代換得到BE=AD，推出△ABD≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到AE=BE=2，BC=4，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AFE=∠BEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AF=$\frac{1}{2}$AE，設(shè)AF=k，則AE=BE=2k，BC=4k，根據(jù)勾股定理得到EF=$\sqrt{5}$k，CE=2$\sqrt{5}$k，CF=5k，由三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵E為AB的中點(diǎn)，
∴AB=2BE，
∵AB=2AD，
∴BE=AD，
∵∠A=90°，AD∥BC，
∴∠ABC=90°，
在△ABD與△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠ABC}\\{AD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE，
∴CE=BD；

（2）∵AB=4，
∴AE=BE=2，BC=4，
∵FE⊥CE，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠AFE=∠AEF+∠BEC=90°，
∴∠AFE=∠BEC，
∴△AEF∽△BCE，
∴$\frac{AF}{BE}=\frac{AE}{BC}$，
∴AF=1；

（3）∵△AEF∽△BCE，
∴$\frac{AF}{BE}=\frac{AE}{BC}$，
∴AF=$\frac{1}{2}$AE，
設(shè)AF=k，則AE=BE=2k，BC=4k，
∴EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$k，
CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$k，
∴CF=$\sqrt{E{F}^{2}+C{E}^{2}}$=5k，
∴sin∠EFC=$\frac{CE}{CF}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．