Question

【題目】如圖，已知⊙O的直徑AB=12，弦AC=10，D是弧BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）11．

【解析】分析：（1）連接OD，由D為弧BC的中點(diǎn)，得到兩條弧相等，進(jìn)而得到兩個(gè)同位角相等，確定出OD與AE平行，利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到OD與DE垂直，即可得證；

（2）過O作OF垂直于AC，利用垂徑定理得到F為AC中點(diǎn)，再由四邊形OFED為矩形，求出FE的長(zhǎng)，由AF+EF求出AE的長(zhǎng)即可．

詳解：（1）連接OD，

∵D為弧BC的中點(diǎn)，∴弧BD=弧CD，

∴∠BOD=∠BAE，∴OD∥AE，

∵DE⊥AC，∴∠ADE=90°，∴∠AED=90°，

∴OD⊥DE，

則DE為圓O的切線；

（2）過點(diǎn)O作OF⊥AC，

∵AC=10，∴AF=CF=AC=5，

∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，

∴四邊形OFED為矩形，

∴FE=OD=AB，

∵AB=12，∴FE=6，

則AE=AF+FE=5+6=11．