Question

如圖，在銳角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC為弦作⊙O，交AC于點D，OD與BC交于點E，若AB與⊙O相切，則下列結論：
①∠BOD=90°；②DO∥AB；③CD=AD；④△BDE∽△BCD；⑤
正確的有

1. A.
   ①②
2. B.
   ①④⑤
3. C.
   ①②④⑤
4. D.
   ①②③④⑤

Answer 1

C
分析：根據(jù)圓周角定理即可求出∠DOB=90°，判斷①即可；根據(jù)切線性質得出∠OBA=90°，根據(jù)平行線的判定即可判斷②；用反證法推出CE=BE，根據(jù)垂徑定理得出OD⊥BC，根據(jù)三角形的內角和定理即可判定假設不成立，即可判斷③；求出∠ODB的度數(shù)得出∠ODB=∠C，再加上∠CBD=∠CBD，根據(jù)相似三角形的判定即可推出④，過E作EM⊥BD于M，設DM=EM=a，由勾股定理求出DE=a，BE=2EM=2a，代入求出即可．
解答：∵∠ACB=45°，
∴由圓周角定理得：∠BOD=2∠ACB=90°，∴①正確；
∵AB切⊙O于B，
∴∠ABO=90°，
∴∠DOB+∠ABO=180°，
∴DO∥AB，∴②正確；
假如CD=AD，因為DO∥AB，
所以CE=BE，
根據(jù)垂徑定理得：OD⊥BC，
則∠OEB=90°，
∵已證出∠DOB=90°，
∴此時△OEB不存在，∴③錯誤；
∵∠DOB=90°，OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD=45°=∠ACB，
即∠ODB=∠C，
∵∠DBE=∠CBD，
∴△BDE∽△BCD，∴④正確；
過E作EM⊥BD于M，
則∠EMD=90°，
∵∠ODB=45°，
∴∠DEM=45°=∠EDM，
∴DM=EM，
設DM=EM=a，
則由勾股定理得：DE=a，
∵∠ABC=180°-∠C-∠A=75°，
又∵∠OBA=90°，∠OBD=45°，
∴∠OBC=15°，
∴∠EBM=30°，
在Rt△EMB中BE=2EM=2a，
∴==，∴⑤正確；
故選C．
點評：本題考查了圓周角定理，切線的性質，三角形的內角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質和判定，相似三角形的判定等知識點，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力，題目比較好，但是一道難度偏大的題目．