Question

【題目】二次函數(shù)y=+bx+c（a＞0）的頂點(diǎn)為P，其圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A（﹣m，0），B（1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，﹣3am+6a），以下說(shuō)法：①m=3；②當(dāng)∠APB=120°時(shí)，a=；③當(dāng)∠APB=120°時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)M（M與P不重合），使得△ABM是頂角為120°的等腰三角形；④拋物線上存在點(diǎn)N，當(dāng)△ABN為直角三角形時(shí)，有a≥.正確的是（ ）.

A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④

Answer 1

【答案】D.

【解析】

試題分析：①把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式得到①式和a+b+c=0②式，將兩式相減即可得到m=，即可得到C（0，3a﹣3b），從而得到c=3a﹣3b，代入②式可得b=2a，所以m==3，故①正確；

②∵m=3，∵A（﹣3，0），∴拋物線的解析式可設(shè)為y=a（x+3）（x﹣1），可得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4a）．根據(jù)對(duì)稱性可得PA=PB，∴∠PAB=∠PBA=30°．設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G，則有PG⊥x軸，∴PG=AGtan∠PAG=2×=，∴4a=，∴a=，故②正確；

③在第一象限內(nèi)作∠MBA=120°，且滿足BM=BA，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于H，如圖1，在Rt△MHB中，∠MBH=60°，則有MH=4sin60°=4×=，BH=4cos60°=4×=2，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，），當(dāng)x=3時(shí)，y=（3+3）（3﹣1）=，∴點(diǎn)M在拋物線上，故③正確；

④∵點(diǎn)N在拋物線上，∴∠ABN≠90°，∠BAN≠90°．當(dāng)△ABN為直角三角形時(shí)，∠ANB=90°，此時(shí)點(diǎn)N在以AB為直徑的⊙G上，因而點(diǎn)N在⊙G與拋物線的交點(diǎn)處，要使點(diǎn)N存在，點(diǎn)P必須在⊙G上或⊙G外，如圖2，則有PG≥2，即4a≥2，也即a≥，故④正確．

故選：D．