Question

14．如圖，正方形ABCD的邊長為1，E是AD邊上一動點，AE=m，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE．延長BG交直線CD于點F．
（1）若∠ABE：∠BFC=n，則n=1：2；
（2）當E運動到AD中點時，求線段GF的長；
（3）若限定F僅在線段CD上（含端點）運動，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠ABF=∠BFC，根據(jù)折疊可得∠ABF=2∠ABE，由此得出n的值即可；
（2）先根據(jù)折疊的性質(zhì)，判定Rt△EDF≌Rt△EGF，再設(shè)DF=GF=x，在Rt△BCF中運用勾股定理求得x的值即可；
（3）若限定F僅在線段CD上（含端點）運動，則分兩種情況進行討論：點F與點D重合，點F與點C重合，進而求得m的取值范圍．

解答 解：（1）∵正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABF=∠BFC，
由折疊得，∠ABF=2∠ABE，
∴∠BFC=2∠ABE，
∴∠ABE：∠BFC=1：2，
∴n=1：2，
故答案為：1：2；

（2）當E運動到AD中點時，AE=DE=$\frac{1}{2}$，
由折疊得，DE=GE，∠EGF=∠D=90°，BG=AB=1，
根據(jù)DE=GE，EF=EF可得，Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF=GF，
設(shè)DF=GF=x，則CF=1-x，
∵在Rt△BCF中，BC²+FC²=BF²，
∴1²+（1-x）²=（1+x）²，
解得x=$\frac{1}{4}$，
∴線段GF的長為$\frac{1}{4}$；

（3）若限定F僅在線段CD上（含端點）運動，則
①如圖，當點F與點D重合時，AE=EG=GF=m，F(xiàn)E=1-m，
在Rt△EFG中，m²+m²=（1-x）²，
解得m=-$\sqrt{2}$-1（舍去），m=$\sqrt{2}$-1；
②如圖，當點F與點C重合時，點E與點D重合，此時AE=AD=1，
∴m=1．
綜上，m的取值范圍是：$\sqrt{2}$-1≤m≤1．

點評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及勾股定理的運用，解題時注意：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；當圖形中出現(xiàn)直角三角形時，可以運用勾股定理求得線段的長，也體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．