Question

包含0至9這10個數(shù)字的十位數(shù)稱為“十全數(shù)”．求滿足以下條件的所有的十全數(shù)：
①它的千位是7；
②從左往右數(shù)，它的第一位能被1整除，前兩位組成的兩位數(shù)能被2整除，前三位組成的三位數(shù)能被3整除…前十位組成的十位數(shù)能被10整除．

Answer 1

考點：數(shù)的整除特征

專題：整除性問題

分析：設(shè)這個數(shù)從左到右分別為ABCDEFGHIJ，其中G=7，顯然J=0．能被5整除說明E=5；
由題意容易看出B，D，F(xiàn)，H都是偶數(shù)；
前八位能被8整除說明FGH能被8整除，而F是偶數(shù)，說明GH能被8整除，而G=7，說明H=2；
前三位能被3整除，前六位能被6整除，說明DEF能被3整除；
E=5，D，F(xiàn)為偶數(shù)，說明D，F(xiàn)一個為4，一個為6．
這樣B=8，而且前四位能被4整除也就是CD能被4整除，C是奇數(shù)，說明D=6，從而F=4；進而推出ABC與DEF的值．

解答： 解：設(shè)這個數(shù)從左到右分別為ABCDEFGHIJ，
其中G=7，顯然J=0．
能被5整除說明E=5．
比較容易看出B，D，F(xiàn)，H都是偶數(shù)．
前八位能被8整除說明FGH能被8整除，而F是偶數(shù)，說明GH能被8整除，而G=7，說明H=2．
前三位能被3整除，前六位能被6整除，說明DEF能被3整除．
E=5，D，F(xiàn)為偶數(shù)，說明D，F(xiàn)一個為4，一個為6．
這樣B=8，而且前四位能被4整除也就是CD能被4整除，C是奇數(shù)，說明D=6，從而F=4．
前三位能被3整除，B=8，說明A，C必然有一個是1，另外一個是9，或者3．這樣ABC有四種可能，381，183，981，189．
前七位是7的倍數(shù)而G=7，說明前六位能被7整除，也就是ABC與DEF的差能被7整除，也就是除以7的余數(shù)相同；
654除以7余3，前面四個數(shù)只有381除以7余數(shù)是3．
于是得到這個數(shù)為3816547290．

點評：完成本題要在充分了解能被3、4、5、7、8和10整除數(shù)的特征的基礎(chǔ)上進行．