Question

給你一個六位數(shù)

.

87x3xy

：
（1）試求出所有這樣的x、y的組合，使該六位數(shù)能被9整除；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果說明該六位數(shù)一定不能被72整除；
（3）試求出所有這樣的x、y的組合，使該六位數(shù)能被24整除；
（4）試求出所有這樣的x、y的組合，使該六位數(shù)能被55整除；
（5）試求出所有這樣的x、y的組合，使該六位數(shù)能被91整除．

Answer 1

考點：整除性質(zhì),位值原則

專題：整除性問題

分析：（1）由已知要求需（8+7+3+2x+y）能被9整除，即2x+y能被9整除，且0≤x，y＜10，由此列舉即可；
（2）驗證（1）中的11組結(jié)果，容易得到?jīng)]有結(jié)果符合條件；
（3）欲使該6位數(shù)被24整除，則首先必須是偶數(shù)，且2x+y能被3整除，即要求2x+y能被6整除，這樣的組合只可能如下（0，6）（1，4）（2，2）（3，0）（2，8）（3，6）（4，4）（5，2）（6，0）（5，8）（6，6）（7，4）（8，2）（9，0）（8，8）（9，6），又要求該六位數(shù)能被8整除，即要求3xy被8整除，這樣可以得到（2，8），（3，6），（4，4），（5，2）（6，0）幾個組合；
（4）為使能整除55，首先y只可能是0或者5，其次偶數(shù)位減奇數(shù)位整除11．因此即2x-y-2能被11整除，這樣組合僅有（9，5）一組；
（5）為使能整除91，則要求87x-3xy能被91整除，則87x=x+51，3xy=10x+y+27，即要求x+51=10x+y+27，由此得出（x，y）=（2，6）．

解答： 解：（1）由已知要求需（8+7+3+2x+y）能被9整除，即2x+y能被9整除，且0≤x，y＜10，因此（x，y）只能是如下組合（0，9）、（1，7）、（2，5）、（3，3）、（4，1）、（5，8）、（6，6）、（7，4）、（8，2）、（9，9）；
（2）驗證（1）中的11組結(jié)果，容易得到?jīng)]有結(jié)果符合條件；
（3）欲使該6位數(shù)被24整除，則首先必須是偶數(shù)，且2x+y能被3整除，即要求2x+y能被6整除，這樣的組合只可能如下（0，6）（1，4）（2，2）（3，0）（2，8）（3，6）（4，4）（5，2）（6，0）（5，8）（6，6）（7，4）（8，2）（9，0）（8，8）（9，6），又要求該六位數(shù)能被8整除，即要求3xy被8整除，這樣可以得到只有（2，8），（3，6），（4，4），（5，2）（6，0）；
（4）為使能整除55，首先y只可能是0或者5，其次偶數(shù)位減奇數(shù)位整除11．因此即2x-y-2能被11整除，這樣組合僅有（9，5）一組；
（5）為使能整除91，則要求87x-3xy能被91整除，則87x=x+51，3xy=10x+y+27，即要求x+51=10x+y+27，由此得出（x，y）=（2，6）．

點評：此題考查了整除的性質(zhì)，明確能被9整除及能被11整除的特征，是解答此題的關(guān)鍵．