Question

180的不同的約數(shù)有

 

個(gè)，不大于200的自然數(shù)中，有

 

個(gè)數(shù)有8個(gè)約數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理

專(zhuān)題：整除性問(wèn)題

分析：（1）首先找出180的約數(shù)有：1、2、3、4、5、6、9、10、12、15、18、20、30、36、45、60、90、180，一共有18個(gè)；
（2）恰有8個(gè)約數(shù)的自然數(shù)具有的形式是：abc或ab³或a⁷（a、b、c是不同的質(zhì)數(shù)），從不大于200的自然數(shù)中，依次找出即可．

解答： 解：（1）首先找出180的約數(shù)有：
1、2、3、4、5、6、9、10、12、15、18、20、30、36、45、60、90、180，
一共有18個(gè)；

（2）恰有8個(gè)約數(shù)的自然數(shù)具有的形式是：abc或ab³或a⁷（a、b、c是不同的質(zhì)數(shù)），

①恰有8個(gè)約數(shù)的自然數(shù)具有abc形式的有19個(gè)：
2×3×5=30，2×3×7=42，2×3×11=66，2×3×13=78，2×3×17=102，
2×3×19=114，2×3×23=138，2×3×29=174，2×3×31=186；
2×5×7=70，2×5×11=110，2×5×13=130，2×5×17=170，2×5×19=190；
2×7×11=156，2×7×13=182，3×5×7=105，3×5×11=165，3×5×13=195；

②恰有8個(gè)約數(shù)的自然數(shù)具有ab³形式的有11個(gè)：
3×2³=24，5×2³=40，7×2³=56，11×2³=88，13×2³=104，17×2³=126，
19×2³=152，23×2³=184，2×3³=54，5×3³=135，7×3³=189；

③恰有8個(gè)約數(shù)的自然數(shù)具有a⁷形式的有1個(gè)：
2⁷=128；

所以，不大于200的自然數(shù)中，有8個(gè)約數(shù)的自然數(shù)的個(gè)數(shù)是：
19+11+1=31（個(gè)）．
故答案為：18、31．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了約數(shù)個(gè)數(shù)問(wèn)題，注意不能多數(shù)、漏數(shù)．