2、算法的五大特征：

⑴邏輯性：　 算法應(yīng)具有正確性和順序性。算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，前一步是后一步的基礎(chǔ)，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都有確切的含義，組成了具有很強(qiáng)的邏輯性的序列。

⑵概括性：　 算法必須能解決一類問題，并且能重復(fù)使用。

⑶有限性：　 一個(gè)算法必須保證執(zhí)行有限步后結(jié)束

⑷非唯一性：求解某個(gè)問題的算法不一定是唯一的，對(duì)于一個(gè)問題可以有不同的算法。

⑸普遍性：　 許多的問題可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決。如：如用二分法求方程的近似零點(diǎn)，求幾何體的體積等等。

1、算法的定義：

算法可以理解為有基本運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)算順序所構(gòu)成的完整的解題步驟。或者看成按照要求設(shè)計(jì)好的有限的確切的計(jì)算序列，并且這樣的步驟和序列可以解決一類問題。

例3：寫出求1×2×3×4×5的算法。

步驟1：先求1×2，得到結(jié)果2；

步驟2：將步驟1得到的結(jié)果2再乘以3，得到6；

步驟3：將步驟2得到的結(jié)果6再乘以4，得到結(jié)果24；

步驟4：將步驟3得到的結(jié)果24再乘以5，得到120。

例4：寫出一個(gè)求整數(shù)a、b、c最大值的算法

解：S1 先假定序列中的第一個(gè)數(shù)為"最大值"。

S2 將序列中的下一個(gè)整數(shù)值與"最大值"比較，如果大于"最大值"，這時(shí)就假定這個(gè)數(shù)為"最大值"。

S3 如果序列中還有其它整數(shù)，重復(fù)S2。

S4 直到序列中沒有可比的數(shù)為止，這時(shí)假定的"最大值"就是序列的最大值。

即 S1 max=a。

S2 如果b>max，則max=b。

S3 如果c>max，則max=c。

S4 max就是a、b、c的最大值。

通過對(duì)以上幾個(gè)問題的分析，我們對(duì)算法有了一個(gè)初步的了解.在解決某些問題時(shí)，需要設(shè)計(jì)出一系列可操作或可計(jì)算的步驟，通過實(shí)施這些步驟來解決問題，通常把這些步驟稱為解決這些問題的算法.

在數(shù)學(xué)中，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來解決的某一類問題的程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.

問題：我們要解決解決一類問題，我們可以抽象出其解題步驟或計(jì)算序列，他們有什么樣的要求？

(1)算法與一般意義上具體問題的解法既有聯(lián)系，又有區(qū)別，它們之間是一般和特殊的關(guān)系，也是抽象與具體的關(guān)系。算法的獲得要借助一般意義上具體問題的求解方法，而任何一個(gè)具體問題都可以利用這類問題的一般算法來解決。

(2)算法的五個(gè)特征

①有窮性：一個(gè)算法的步驟序列是有限的，它應(yīng)在有限步操作之后停止，而不能是無限地執(zhí)行下去。

②確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可的。

③邏輯性：算法從初始步驟開始，分為若干個(gè)明確的步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無誤，才能完成問題。

④不唯一性：求解某一個(gè)問題的算法不一定只有唯一的一個(gè)，可以有不同的算法。

⑤普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決，如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過有限的、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決。

例1：給出求1+2+3+4+5的一個(gè)算法.

解： 算法1　 按照逐一相加的程序進(jìn)行

　　 第一步：計(jì)算1+2，得到3；

第二步：將第一步中的運(yùn)算結(jié)果3與3相加，得到6；

　　 第三步：將第二步中的運(yùn)算結(jié)果6與4相加，得到10；

　　 第四步：將第三步中的運(yùn)算結(jié)果10與5相加，得到15.

　　 算法2　 可以運(yùn)用公式1+2+3+…+=直接計(jì)算

　　 第一步：取=5；

第二步：計(jì)算；

　　 第三步：輸出運(yùn)算結(jié)果.

算法3　 按照累積相加的程序進(jìn)行

第一步：讓S=0，I=1　

第二步：將S+I的值賦給S，I的值增加1

第三步：如果I比5大,則輸出S,否則轉(zhuǎn)第二步.

(說明算法不唯一)

例2：(課本第2頁，解二元一次方程組的步驟)

　　 (可推廣到解一般的二元一次方程組，說明算法的普遍性)

廣義地說為了解決某一問題而采取的方法和步驟，就稱之為算法。做任何事情都有一定的步驟。例如：描述太極拳動(dòng)作的圖解，就是“太極拳的算法”；一首歌的樂譜，可以稱之為該歌曲的算法。從小學(xué)到高中遇到的算法絕大多數(shù)都與“計(jì)算”有關(guān)的問題。

請(qǐng)大家研究解決下面的一個(gè)問題

問題1．寫出你在家里燒開水的過程.

一般地，第一步：把水注入電鍋；第二步：打開電源把水燒開；第三步：把燒開的水注入熱水瓶.

問題2．兩個(gè)大人和兩個(gè)小孩一起渡河，渡口只有一條小船，每次只能渡1 個(gè)大人或兩個(gè)小孩，他們四人都會(huì)劃船，但都不會(huì)游泳。試問他們?cè)鯓佣蛇^河去？請(qǐng)寫出一個(gè)渡河方案。

(通過學(xué)生討論得出渡河方案與步驟如下)

S₁　 兩個(gè)小孩同船過河去；

S₂　 一個(gè)小孩劃船回來；

S₃　 一個(gè)大人劃船過河去；

S₄　 對(duì)岸的小孩劃船回來；

S₅　 兩個(gè)小孩同船渡過河去；

S₆　 一個(gè)小孩劃船回來；

S₇　 余下的一個(gè)大人獨(dú)自劃船渡過河去；對(duì)岸的小孩劃船回來；

S₈　 兩個(gè)小孩再同時(shí)劃船渡過河去。

3．重視對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法進(jìn)行歸納提煉，達(dá)到優(yōu)化解題思維、簡(jiǎn)化解題過程

①方程思想，解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)問題利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體處理，就簡(jiǎn)化解題運(yùn)算量.

②用好函數(shù)思想方法

對(duì)于圓錐曲線上一些動(dòng)點(diǎn)，在變化過程中會(huì)引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量，從而使一些線的長(zhǎng)度及a，b，c，e之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，函數(shù)思想在處理這類問題時(shí)就很有效。

③掌握坐標(biāo)法

坐標(biāo)法是解析幾何的基本方法，因此要加強(qiáng)坐標(biāo)法的訓(xùn)練。

④對(duì)稱思想

由于圓錐曲線和圓都具有對(duì)稱性質(zhì)，可使分散的條件相對(duì)集中，減少一些變量和未知量，簡(jiǎn)化計(jì)算，提高解題速度，促成問題的解決。

⑤參數(shù)思想

參數(shù)思想是辯證思維在數(shù)學(xué)中的反映，一旦引入?yún)��?shù)，用參數(shù)來劃分運(yùn)動(dòng)變化狀態(tài)，利用圓、橢圓、雙曲線上點(diǎn)用參數(shù)方程形式設(shè)立或(x₀、y₀)即可將參量視為常量，以相對(duì)靜止來控制變化，變與不變的轉(zhuǎn)化，可在解題過程中將其消去，起到“設(shè)而不求”的效果。

⑥轉(zhuǎn)化思想

解決圓錐曲線時(shí)充分注意直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間有聯(lián)系，直角坐標(biāo)方程與參數(shù)方程，極坐標(biāo)之間聯(lián)系及轉(zhuǎn)化，利用平移得出新系坐標(biāo)與原坐標(biāo)之間轉(zhuǎn)化，可達(dá)到優(yōu)化解題的目的。

除上述常用數(shù)學(xué)思想外，數(shù)形結(jié)合、分類討論、整體思想、構(gòu)造思想也是不可缺少的思想方法，復(fù)習(xí)也應(yīng)給予足夠的重視.

2．復(fù)習(xí)時(shí)要突出“曲線與方程”這一重點(diǎn)內(nèi)容

曲線與方程有兩個(gè)方面：一是求曲線方程，二是由方程研究曲線的性質(zhì).這兩方面的問題在歷年高考中年年出現(xiàn)，且常為壓軸題.因此復(fù)習(xí)時(shí)要掌握求曲線方程的思路和方法，即在建立了平面直角坐標(biāo)系后，根據(jù)曲線上點(diǎn)適合的共同條件找出動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的縱坐標(biāo)y和橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系式，即f(x，y)=0為曲線方程，同時(shí)還要注意曲線上點(diǎn)具有條件，確定x，y的范圍，這就是通常說的函數(shù)法，它是解析幾何的核心，應(yīng)培養(yǎng)善于運(yùn)用坐標(biāo)法解題的能力，求曲線的常用方法有兩類：一類是曲線形狀明確且便于用標(biāo)準(zhǔn)形式，這時(shí)用待定系數(shù)法求其方程；另一類是曲線形狀不明確或不便于用標(biāo)準(zhǔn)形式表示，一般可用直接法、間接代點(diǎn)法、參數(shù)法等求方程。二要引導(dǎo)如何將解析幾何的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化的代數(shù)數(shù)量關(guān)系進(jìn)而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，由方程研究曲線，特別是圓錐曲線的幾何性質(zhì)問題�；癁榈仁浇鉀Q，要加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練。

1．注意圓錐曲線的定義在解題中的應(yīng)用，注意解析幾何所研究的問題背景平面幾何的一些性質(zhì)；