3．勻減速直線運(yùn)動追勻速運(yùn)動，當(dāng)二者速度相同時相距最近，此時假設(shè)追不上，以后就永遠(yuǎn)追不上了．

2．勻速運(yùn)動追擊勻加速運(yùn)動，當(dāng)二者速度相同時追不上以后就永遠(yuǎn)追不上了．此時二者相距最近．

1．勻加速運(yùn)動追擊勻速運(yùn)動，當(dāng)二者速度相同時相距最遠(yuǎn)．

2、速度--時間圖象的遷移與妙用

[例4] 一個固定在水平面上的光滑物塊，其左側(cè)面是斜面AB，右側(cè)面是曲面AC。已知AB和AC的長度相同。兩個小球p、q同時從A點(diǎn)分別沿AB和AC由靜止開始下滑，比較它們到達(dá)水平面所用的時間

　 A.p小球先到　　 B.q小球先到　　 C.兩小球同時到　　 D.無法確定

解：可以利用v-t圖象(這里的v是速率，曲線下的面積表示路程s)定性地進(jìn)行比較。在同一個v-t圖象中做出p、q的速率圖線，顯然開始時q的加速度較大，斜率較大；由于機(jī)械能守恒，末速率相同，即曲線末端在同一水平圖線上。為使路程相同(曲線和橫軸所圍的面積相同)，顯然q用的時間較少。

[例5] 兩支完全相同的光滑直角彎管(如圖所示)現(xiàn)有兩只相同小球a和a^/ 同時從管口由靜止滑下，問誰先從下端的出口掉出？(假設(shè)通過拐角處時無機(jī)械能損失)　　　

解：首先由機(jī)械能守恒可以確定拐角處v₁> v₂，而兩小球到達(dá)出口時的速率v相等。又由題薏可知兩球經(jīng)歷的總路程s相等。由牛頓第二定律，小球的加速度大小a=gsinα，小球a第一階段的加速度跟小球a^/第二階段的加速度大小相同(設(shè)為a₁)；小球a第二階段的加速度跟小球a^/第一階段的加速度大小相同(設(shè)為a₂)，根據(jù)圖中管的傾斜程度，顯然有a₁> a₂。根據(jù)這些物理量大小的分析，在同一個v-t圖象中兩球速度曲線下所圍的面積應(yīng)該相同，且末狀態(tài)速度大小也相同(縱坐標(biāo)相同)。開始時a球曲線的斜率大。由于兩球兩階段加速度對應(yīng)相等，如果同時到達(dá)(經(jīng)歷時間為t₁)則必然有s₁>s₂，顯然不合理。考慮到兩球末速度大小相等(圖中v_m)，球a^/ 的速度圖象只能如實(shí)線所示。因此有t₁< t₂，即a球先到。

[例6]一只老鼠從洞口爬出后沿一直線運(yùn)動，其速度大小與其離開洞口的距離成反比。當(dāng)其到達(dá)距洞口為d₁的A點(diǎn)時速度為v₁．若B點(diǎn)離洞口的距離為d₂(d₂＞d₁)，求老鼠由A運(yùn)動至B所需的時間。

[解析]圖中的曲線與橫軸所圍面積的數(shù)值正是老鼠經(jīng)過一定的位移所需的時間。如圖所示，取一窄條，其寬度Δx很小(Δx→0)，此段位移所需時間Δt也很小(Δv→0)，可以認(rèn)為在如此短時間內(nèi)，老鼠的速度改變很小(Δv→0)，如圖中窄條的面積為A＝Δx=，這正表示老鼠經(jīng)位移Δx所需的時間。故圖中，圖線=，x₁＝d_l，x₂＝d₂及x軸所圍的梯形面積正是老鼠由d_l爬至d₂所需的時間。K=v₁d₁=v₂d₂;T=。

說明：利用圖象的物理意義來解決實(shí)際問題往往起到意想不到的效果．在中學(xué)階段某些問題根本無法借助初等數(shù)學(xué)的方法來解決，但如果注意到一些圖線的斜率和面積所包含的物理意義，則可利用比較直觀的方法解決問題。

[例7]甲、乙兩車同時同向沿直線駛向某地，甲在前一半時間以v₁勻速運(yùn)動，后一半時間以v₂勻速運(yùn)動.乙在前一半路程以v₁勻速運(yùn)動，后一半路程以v₂勻速運(yùn)動，先到目的地的是____.

[例8]質(zhì)點(diǎn)P以O(shè)點(diǎn)為平衡位置豎直向上作簡諧運(yùn)動，同時質(zhì)點(diǎn)Q也從O點(diǎn)被豎直上拋，它們恰好同時到達(dá)最高點(diǎn)，且高度相同，在此過程中，兩質(zhì)點(diǎn)的瞬時速度v_P與v_Q的關(guān)系應(yīng)該是 [　D　 ]

　A.v_P＞v_Q.　B.先v_P＞v_Q，后v_P＜v_Q，最后v_P=v_Q=0.

　C.v_P＜v_Q.　D.先v_P＜v_Q，后v_P＞v_Q，最后v_P=v_Q=0.

解析：這也是用解析方法很難下手的題目，但若能利用題設(shè)條件，畫好、分析好兩個質(zhì)點(diǎn)的v－t圖線，就能很快找到答案.

　先在圖中畫出Q作勻減速運(yùn)動的v－t圖象.由于P作簡諧運(yùn)動，當(dāng)它由平衡位置向極端位置運(yùn)動過程中，受到的回復(fù)力從零開始不斷變大，它的加速度也從零開始不斷變大，速度不斷變小，P作加速度不斷增大的減速運(yùn)動，其v－t圖線是一條曲線.根據(jù)v－t圖線上任一點(diǎn)的切線的斜率數(shù)值上等于質(zhì)點(diǎn)在該時刻的加速度，由于P的加速度由零開始不斷變大，畫出曲線切線斜率的絕對值也應(yīng)由零開始不斷增大，即曲線的切線應(yīng)從呈水平狀態(tài)開始不斷變陡，那么只有向右邊凸出的下降的曲線才能滿足這樣的條件.又因P與Q的運(yùn)動時間相等，所以曲線的終點(diǎn)也應(yīng)在t，P與Q的路程相等，所以曲線包圍的面積應(yīng)等于三角形v_Q0Ot的面積，根據(jù)這些要求，曲線的起點(diǎn)，即質(zhì)點(diǎn)P的初速度v_P0必定小于Q的初速v_Q0，且兩條v－t圖線必定會相交，如圖7中的實(shí)線所示.圖7的兩條虛線表示的質(zhì)點(diǎn)P的v－t圖線都不滿足題設(shè)條件(P與Q的路程相等)，所以(D)選項(xiàng)正確.

試題展示

運(yùn)動學(xué)典型問題及解決方法

基礎(chǔ)知識　　 一、相遇、追及與避碰問題

對于追及問題的處理，要通過兩質(zhì)點(diǎn)的速度比較進(jìn)行分析，找到隱含條件(即速度相同時，而質(zhì)點(diǎn)距離最大或最小)。再結(jié)合兩個運(yùn)動的時間關(guān)系、位移關(guān)系建立相應(yīng)的方程求解，必要時可借助兩質(zhì)點(diǎn)的速度圖象進(jìn)行分析�！　�

2、速度時間圖象

(1)它反映了運(yùn)動物體速度隨時間的變化關(guān)系．

(2)勻速運(yùn)動的V一t圖線平行于時間軸．

(3)勻變速直線運(yùn)動的V-t圖線是傾斜的直線，其斜率數(shù)值上等于物體運(yùn)動的加速度．

(4)非勻變速直線運(yùn)動的V一t圖線是曲線，每點(diǎn)的切線方向的斜率表示該點(diǎn)的加速度大小．　　

規(guī)律方法　 1、s--t圖象和v--t圖象的應(yīng)用

[例1]甲、乙、兩三物體同時同地開始做直線運(yùn)動，其位移一時間圖象如圖所示，則在t₀時間內(nèi)，甲、乙、丙運(yùn)動的平均速度的大小關(guān)系分別是：V_甲　　 V_乙　　 V_丙(填“＞”、“＝”或“＜”)，它們在t₀時間內(nèi)平均速率大小關(guān)系為V^/_甲＿V^/_乙＿V^/_丙·

解析：由圖可知，在t₀時間內(nèi)它們的位移相同，由平均速度的定義，故可知甲、乙、兩三者在t₀時間內(nèi)的平均速度的大小相同，即V_甲=V_乙=V_丙，而平均速率是指質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的路程(質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡的長度)與時間的比值，由圖中可知，質(zhì)點(diǎn)在to時間內(nèi)，甲的路程最長，(由圖象中可知甲有回復(fù)運(yùn)動)故甲的平均速率最大，而乙和丙路程相同，故乙和丙的平均速率相同，即V^/_甲＞V^/_乙=V^/_丙．

注意：平均速率不是平均速度的大小．對于圖象問題，要求把運(yùn)動物體的實(shí)際運(yùn)動規(guī)律與圖象表示的物理含義結(jié)合起來考慮．

[例2]物體沿一直線運(yùn)動，在t時間內(nèi)通過的路程為S。它在中間位置½S處的速度為v₁，在中間時刻½t時的速度為v₂，則v₁、v₂的關(guān)系為

A．當(dāng)物體作勻加速直線運(yùn)動時，v₁＞v₂

B．當(dāng)物體作勻減速直線運(yùn)動時，v₁＜v₂；

c．當(dāng)物體作勻速直線運(yùn)動時，v₁＝v₂

D．當(dāng)物體作勻減速直線運(yùn)動時，v₁＞v₂　　

[解析]由題意，作出物體的v一t關(guān)系圖，½S點(diǎn)處的虛線把梯形面積一分為二，如圖所示，由圖可知，無論物體作勻加速直線運(yùn)動還是作勻減速直線運(yùn)動。在路程中間位置的速度v₁始終大于中間時刻的速度v₂，當(dāng)物體作勻速直線運(yùn)動時，在任何位置和任何時刻的速度都相等。

　　 故正確答案A、C、D。

[例3]甲、乙、丙三輛汽車以相同的速度同時經(jīng)過某一路標(biāo)，從此時開始，甲車一直做勻速直線運(yùn)動，乙車先加速后減速，丙車先減速后加速，它們經(jīng)過下一路標(biāo)時速度又相同，則哪一輛車先經(jīng)過下一個路標(biāo)？

解析：由題可知這三輛汽車的初、末速度相同，它們發(fā)生的位移相同，而題中并不知乙、丙兩車在各階段是否做勻速直線運(yùn)動，因此，我們只能分析它們的一般運(yùn)動，即變速直線運(yùn)動，這樣勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律就無法求解這一問題，如果我們利用圖象法，即在同一坐標(biāo)系中，分別做出這三輛車的v-t圖象，如圖所示，由此可知：乙車到達(dá)下一個路標(biāo)的時間最短，即乙車最先通過下一個路標(biāo)。

說明：圖象法是根據(jù)物體的運(yùn)動規(guī)律及題中條件，將復(fù)雜的運(yùn)動過程轉(zhuǎn)化成簡單、直觀過程的一種思維方法。

(1)s--t圖象和v--t圖象，只能描述直線運(yùn)動--單向或雙向直線運(yùn)動的位移和速度隨時間的變化關(guān)系，而不能直接用來描述方向變化的曲線運(yùn)動。

(2)當(dāng)為曲線運(yùn)動時，應(yīng)先將其分解為直線運(yùn)動，然后才能用S-t或v一t圖象進(jìn)行描述。

1、位移時間圖象

　 位移時間圖象反映了運(yùn)動物體的位移隨時間變化的關(guān)系，勻速運(yùn)動的S-t圖象是直線，直線的斜率數(shù)值上等于運(yùn)動物體的速度；變速運(yùn)動的S－t圖象是曲線，圖線切線方向的斜率表示該點(diǎn)速度的大小．

3、兩種運(yùn)動的聯(lián)系與應(yīng)用

[例6]自高為H的塔頂自由落下A物的同時B物自塔底以初速度v₀豎直上拋，且A、B兩物體在同一直線上運(yùn)動．下面說法正確的是(　　 )

　　 A．若v₀＞兩物體相遇時，B正在上升途中　　 B、v₀=兩物體在地面相遇

　　 C．若＜v₀＜，兩物體相遇時B物正在空中下落

　　 D．若v₀＝，則兩物體在地面相遇

　 解析：由A、B相對運(yùn)動知，相遇時間t=H/ v₀，B物上升到最高點(diǎn)需時間t₁= v₀/g．落回到拋出點(diǎn)時間t₂＝2v₀/g

　　 要在上升途中相遇，t＜t₁，即H/ v₀＜v₀/g。v₀＞，要在下降途中相遇．t₁＜ t＜ t₂，即v₀/g＜H/ v₀＜2v₀/g．＜v₀＜

　　 在最高點(diǎn)相遇時t＝t₁，vo=；　　 在地面相遇時．t＝t₂，vo=．

答案：ACD

[例7]子彈從槍口射出速度大小是30m/s，某人每隔1s豎直向上開一槍，假設(shè)子彈在升降過程中都不相碰，試求

(1)空中最多能有幾顆子彈？

(2)設(shè)在t=0時將第一顆子彈射出，在哪些時刻它和以后射出的子彈在空中相遇而過？

(3)這些子彈在距原處多高的地方與第一顆子彈相遇？(不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²)

解：(1)設(shè)子彈射出后經(jīng)ts回到原處

t=0時第一顆子彈射出，它于第6s末回到原處時，第七顆子彈射出，所以空中最多有六顆子彈．

(2)設(shè)第一顆子彈在空中運(yùn)動t₁s，和第二顆子彈在空中相遇．V₁=v₀－gt，V₂=v₀－g(t₁－1)

由對稱性v₂=-v₁，即v₀-g(t₁-1)=gt₁-v₀ 解得 t₁=3.5(s)

同理，第一顆子彈在空中運(yùn)動t₂=4.0s、t₃=4.5s、t₄=5.0s、t₅=5.5s分別與第三顆子彈、第四顆子彈、第五顆子彈、第六顆子彈在空中相遇．

(3)由，將t₁=3.5s，t₂=4.0s，t₃=4.5s，t₄=5.0s和 t₅=5.5s分別代入上式，得h₁=43.75m，h₂=40m，h₃=33.75m，h₄=25m，h₅=13.75m。

試題展示

　　　　　　 勻變速直線運(yùn)動圖象

基礎(chǔ)知識一．對于運(yùn)動圖象要從以下幾點(diǎn)來認(rèn)識它的物理意義：

　　 a．從圖象識別物體運(yùn)動的性質(zhì)。

　　 b．能認(rèn)識圖像的截距的意義。

　　 C．能認(rèn)識圖像的斜率的意義。

　　 d．能認(rèn)識圖線覆蓋面積的意義。

　　 e．能說出圖線上一點(diǎn)的狀況。

2、充分運(yùn)用豎直上拋運(yùn)動的對稱性

(1)速度對稱：上升和下降過程經(jīng)過同一位置時速度等大反向。

(2)時間對稱：上升和下降過程經(jīng)過同一段高度的上升時間和下降時間相等。

[例4]某物體被豎直上拋，空氣阻力不計(jì)，當(dāng)它經(jīng)過拋出點(diǎn)之上0.4m時，速度為3m/s．它經(jīng)過拋出點(diǎn)之下0.4m時，速度應(yīng)是多少？(g=10m/s²)

解法一：豎直上拋物體的上拋速度與落回原拋出點(diǎn)速度大小相等．因此，物體在拋出點(diǎn)之上0.4m處，上升階段或下降階段的速度大小都是3m/s．若以下落速度3m/s為初速度，0.4+0.4(m)為位移量，那么所求速度就是設(shè)問的要求．

解法二 ：物體高度為h₁=0.4m時速度為v₁，則

物體高度為h₂=-0.4m時速度為v₂，則

由以上兩式式消去v₀得_，

[例5]一個從地面豎直上拋的物體，它兩次經(jīng)過一個較低的點(diǎn)a的時間間隔是Ta，兩次經(jīng)過一個較高點(diǎn)b的時間間隔是Tb，則a、b之間的距離為(　　 )

；　 ；　 ；　　

解析：根據(jù)時間的對稱性，物體從a點(diǎn)到最高點(diǎn)的時間為Ta/2，從b點(diǎn)到最高點(diǎn)的時間為Tb/2，所以a點(diǎn)到最高點(diǎn)的距離ha=，b點(diǎn)到最高點(diǎn)的距離hb=，

故a、b之間的距離為ha－h(huán)b=，即選A

3．上升階段與下降階段的特點(diǎn)

　(l)物體從某點(diǎn)出發(fā)上升到最高點(diǎn)的時間與從最高點(diǎn)回落到出發(fā)點(diǎn)的時們相等。即　 t_上=v₀/g=t_下　 所以，從某點(diǎn)拋出后又回到同一點(diǎn)所用的時間為t=2v₀/g

　(2)上把時的初速度v₀與落回出發(fā)點(diǎn)的速度V等值反向，大小均為；即　　 V=V₀=

　　 注意：①以上特點(diǎn)適用于豎直上拋物體的運(yùn)動過程中的任意一個點(diǎn)所時應(yīng)的上升下降兩階段，因?yàn)閺娜我庖稽c(diǎn)向上看，物體的運(yùn)動都是豎直上拋運(yùn)動，且下降階段為上升階段的逆過程．

　　 ②以上特點(diǎn)，對于一般的勻減速直線運(yùn)動都能適用。若能靈活掌握以上特點(diǎn)，可使解題過程大為簡化．尤其要注意豎直上拋物體運(yùn)動的時稱性和速度、位移的正負(fù)。

規(guī)律方法　　　 1、基本規(guī)律的理解與應(yīng)用

[例1]從一定高度的氣球上自由落下兩個物體，第一物體下落1s后，第二物體開始下落，兩物體用長93.1m的繩連接在一起．問：第二個物體下落多長時間繩被拉緊．

解法一　 設(shè)第二個物體下落ts后繩被拉緊，此時兩物體位移差Δh=93.1m

Δh=，即93.1=，解得　 t=9(s)

解法二　 以第二個物體為參照物．在第二個物體沒開始下落時，第一個物體相對第二個物體做自由落體運(yùn)動；1s后，第二個物體開始下落，第一個物體相對第二個物體做勻速運(yùn)動，其速度為第一個物體下落1s時的速度．當(dāng)繩子被拉直時，第一個物體相對第二個物體的位移為h=93.1m．h=h₁+h₂

，即　　 解得　　　 t=9(s)

[例2]利用水滴下落可以測量重力加速度g，調(diào)節(jié)水龍頭，讓水一滴一滴地流出。在水龍頭的正下方放一個盤子，調(diào)整盤子的高度，使一個水滴碰到盤子時，恰好有另一個水滴從水龍頭開始下落，而空中還有一個正在下落的水滴。測出水龍頭到盤子的距離為h，再用秒表測時間。從第一個水滴離開水龍頭開時計(jì)時，到第n個水滴落到盤子中，共用時間為t₀問：第一個水滴落到盤中時，第二個水滴離開水龍頭的距離為多少？可測得的重力加速度為多少？

[解析]由于水龍頭滴水的時間間隔是恒定的，因此，題中所提到的某一時刻恰好滴到盤子的水滴和正在空中下落的水滴，這兩個水滴的狀態(tài)可以看做是同一個水滴離開水龍頭做自由落體運(yùn)動的兩個狀態(tài)：滴到盤子的水滴運(yùn)動時間為2t₁，正在空中下落的水滴的位置相當(dāng)于下落時間為t₁的位置，通過比例關(guān)系可解每個水滴在下落的一半時間內(nèi)的下落高度即為所求。依題意數(shù)清楚在計(jì)時t內(nèi)有多少個水滴離開水龍頭，就得到了相鄰兩滴水滴落下的時間間隔，將此時間間隔用于開始下落的過程上，可解出重力加速度的表達(dá)式。

　　 解：滴水的時間間隔恒定，視為同一滴水在下落h段的時間分為相等的兩段，前段時間內(nèi)下落h₁．則由初速為零的勻加速直線運(yùn)動的比例關(guān)系，有:h_l：h＝1：4；而h_l就是第一個水滴落到盤中時，第二個水滴離開水龍頭的距離：h₀。從開始計(jì)時到第n個水滴落到盤子中，共有(n+1)個水滴離開水龍頭，相鄰兩滴水滴落下的時間間隔為t₁＝。

從開始下落經(jīng)歷t₁下落了h，由h＝得：g＝

[例3]將一輕質(zhì)球豎直上拋，若整個運(yùn)動過程中，該球所受空氣阻力大小不變，上升時間為t_上，下降時間為 t_下，拋出時速度為 v₀，落回時速度為v_t，則它們間的關(guān)系是(　 )

　　 A．t_上＞t_下，v₀＞v_t； B．t_上＜t_下，v₀＜v_t　　 C．t_上＜t_下，v₀＞v_t；D．t_上=t_下，v₀＝v_t

解析：a_上＝，a_下＝，所以a_上＞a_下． t_上＝，t_下＝。所以t_上＜t_下，v₀＝，v_t＝，所以v₀＞v_t　　 答案：C

2．兩種處理辦法：

(1)分段法：上升階段看做末速度為零，加速度大小為g的勻減速直線運(yùn)動，下降階段為自由落體運(yùn)動．

(2)整體法：從整體看來，運(yùn)動的全過程加速度大小恒定且方向與初速度v₀方向始終相反，因此可以把豎直上拋運(yùn)動看作是一個統(tǒng)一的減速直線運(yùn)動。這時取拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，初速度v₀方向?yàn)檎�方向，則a=一g�！　�