(一)方法總結(jié)

1.以“基底”形式出現(xiàn)的向量問題通常將題中的化為以某一點為統(tǒng)一起點，再進(jìn)行向量運算會非常方便；

2.以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的向量問題可以盡可能利用解析思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程方法求解；

考點一：向量的概念、向量的基本定理

[內(nèi)容解讀]了解向量的實際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、單位向量、相等向量等概念，理解向量的幾何表示，掌握平面向量的基本定理。

注意對向量概念的理解，向量是可以自由移動的，平移后所得向量與原向量相同；兩個向量無法比較大小，它們的�？杀容^大小。

如果和是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使=λ1+λ2.

　 注意：若和是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，

[命題規(guī)律]有關(guān)向量概念和向量的基本定理的命題，主要以選擇題或填空題為主，考查的難度屬中檔類型。

例1、(2007上海)直角坐標(biāo)系中，分別是與軸正方向同向的單位向量．在直角三角形中，若，則的可能值個數(shù)是(　)

A．1　　　　　　 B．2　　　　　　 C．3　　　　　　 D．4

解：如圖，將A放在坐標(biāo)原點，則B點坐標(biāo)為(2,1)，C點坐標(biāo)為(3,k)，所以C點在直線x=3上，由圖知，只可能A、B為直角，C不可能為直角．所以 k 的可能值個數(shù)是2，選B

點評：本題主要考查向量的坐標(biāo)表示，采用數(shù)形結(jié)合法，巧妙求解，體現(xiàn)平面向量中的數(shù)形結(jié)合思想。

例2、(2007陜西)如圖，平面內(nèi)有三個向量、、,其中與與的夾角為120°，與的夾角為30°,且||＝||＝1，

|| ＝，若＝λ+μ(λ，μ∈R),

則λ+μ的值為　　　　 　.

解：過C作與的平行線與它們的延長線相交，可得平行四邊形，由角BOC=90°角AOC=30°，=得平行四邊形的邊長為2和4，2+4=6

點評：本題考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA與向量OB作為基底表示出來后，求相應(yīng)的系數(shù)，也考查了平行四邊形法則。

考點二：向量的運算

[內(nèi)容解讀]向量的運算要求掌握向量的加減法運算，會用平行四邊形法則、三角形法則進(jìn)行向量的加減運算；掌握實數(shù)與向量的積運算，理解兩個向量共線的含義，會判斷兩個向量的平行關(guān)系；掌握向量的數(shù)量積的運算，體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，并理解其幾何意義，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量積的運算，能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用向量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。

[命題規(guī)律]命題形式主要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，考查重點為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標(biāo)運算，有時也會與其它內(nèi)容相結(jié)合。

例3、(2008湖北文、理)設(shè)a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則(a+2b)·c=(　 )

A.(－15,12)　　B.0　　　 C.－3　　 D.－11

解：(a+2b)，(a+2b)·c ，選C

　點評：本題考查向量與實數(shù)的積，注意積的結(jié)果還是一個向量，向量的加法運算，結(jié)果也是一個向量，還考查了向量的數(shù)量積，結(jié)果是一個數(shù)字。

例4、(2008廣東文)已知平面向量，且∥，則=(　 )

　 A．(-2，-4)　　 B. (-3，-6)　　 C. (-4，-8)　　 D. (-5，-10)

解：由∥，得m＝－4，所以，

＝(2，4)+(－6，－12)＝(－4，－8)，故選(C)。

點評：兩個向量平行，其實是一個向量是另一個向量的倍，也是共線向量，注意運算的公式，容易與向量垂直的坐標(biāo)運算混淆。

例5、(2008海南、寧夏文)已知平面向量=(1，－3)，=(4，－2)，與垂直，則是(　　 )

A. －1　　 　 B. 1　　　　　 C. －2　　　　　 D. 2

解：由于

∴，即，選A

點評：本題考查簡單的向量運算及向量垂直的坐標(biāo)運算，注意不要出現(xiàn)運算出錯，因為這是一道基礎(chǔ)題，要爭取滿分。

例6、(2008廣東理)在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F. 若, ,則( 　 )

　A．　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D.

解:,,

,

由A、E、F三點共線,知

而滿足此條件的選擇支只有B，故選B.

點評：用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行向量的加減法運算是向量運算的一個難點，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

例7、(2008江蘇)已知向量和的夾角為，，則　�。�

解：=，7

點評：向量的模、向量的數(shù)量積的運算是經(jīng)�？疾榈膬�(nèi)容，難度不大，只要細(xì)心，運算不要出現(xiàn)錯誤即可。

考點三：定比分點

[內(nèi)容解讀]掌握線段的定比分點和中點坐標(biāo)公式，并能熟練應(yīng)用，求點分有向線段所成比時，可借助圖形來幫助理解。

[命題規(guī)律]重點考查定義和公式，主要以選擇題或填空題型出現(xiàn)，難度一般。由于向量應(yīng)用的廣泛性，經(jīng)常也會與三角函數(shù)，解析幾何一并考查，若出現(xiàn)在解答題中，難度以中檔題為主，偶爾也以難度略高的題目。

例8、(2008湖南理)設(shè)D­、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且則與( 　 )

A.反向平行　 　　　 B.同向平行　 　　　 C.互相垂直　 　　　 D.既不平行也不垂直　　

解：由定比分點的向量式得:同理，有：

以上三式相加得

所以選A.

點評：利用定比分點的向量式，及向量的運算，是解決本題的要點.

考點四：向量與三角函數(shù)的綜合問題

[內(nèi)容解讀]向量與三角函數(shù)的綜合問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題，考查了向量的知識，三角函數(shù)的知識，達(dá)到了高考中試題的覆蓋面的要求。

[命題規(guī)律]命題以三角函數(shù)作為坐標(biāo)，以向量的坐標(biāo)運算或向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，也有向量與三角函數(shù)圖象平移結(jié)合的問題，屬中檔偏易題。

例9、(2008深圳福田等)已知向量 ,函數(shù)

(1)求的最小正周期;　　 (2)當(dāng)時, 若求的值．

解：(1) .

所以，T＝.

(2) 由得，

∵，∴　∴　 ∴ 　　

點評：向量與三角函數(shù)的綜合問題是當(dāng)前的一個熱點，但通常難度不大，一般就是以向量的坐標(biāo)形式給出與三角函數(shù)有關(guān)的條件，并結(jié)合簡單的向量運算，而考查的主體部分則是三角函數(shù)的恒等變換，以及解三角形等知識點.

例10、(2007山東文)在中，角的對邊分別為．

(1)求；

(2)若，且，求．

解：(1)

　　　 又　 　 解得．

　　　 ，是銳角．　　　 ．

(2)由， 　　 　，　　　 ．

　　　 又　　　 ．　　　 ．

　　　 ．　 ．

　點評：本題向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，考查向量的數(shù)量積，余弦定理等內(nèi)容。

例11、(2007湖北)將的圖象按向量平移，則平移后所得圖象的解析式為(　)

A．　　　　　 B．

C．　　　　　 D．

解： 由向量平移的定義，在平移前、后的圖像上任意取一對對應(yīng)點，，則，代入到已知解析式中可得選A

　　 點評：本題主要考察向量與三角函數(shù)圖像的平移的基本知識，以平移公式切入，為中檔題。注意不要將向量與對應(yīng)點的順序搞反，或死記硬背以為是先向右平移個單位，再向下平移2個單位，誤選C

考點五：平面向量與函數(shù)問題的交匯

[內(nèi)容解讀]平面向量與函數(shù)交匯的問題，主要是向量與二次函數(shù)結(jié)合的問題為主，要注意自變量的取值范圍。

[命題規(guī)律]命題多以解答題為主，屬中檔題。

例12、(2008廣東六校聯(lián)考)已知向量＝(cosx，sinx)，＝()，且x∈[0，]．

(1)求

(2)設(shè)函數(shù)+，求函數(shù)的最值及相應(yīng)的的值。

解：(I)由已知條件： ， 得：

　 (2)

因為：，所以：

所以，只有當(dāng)： 時，

　　　　　　　 　，或時，

點評：本題考查向量、三角函數(shù)、二次函數(shù)的知識，經(jīng)過配方后，變成開口向下的二次函數(shù)圖象，要注意sinx的取值范圍，否則容易搞錯。

考點六：平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

[內(nèi)容解讀]向量的坐標(biāo)表示實際上就是向量的代數(shù)表示．在引入向量的坐標(biāo)表示后，使向量之間的運算代數(shù)化，這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起．因此，許多平面幾何問題中較難解決的問題，都可以轉(zhuǎn)化為大家熟悉的代數(shù)運算的論證．也就是把平面幾何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，賦予幾何圖形有關(guān)點與平面向量具體的坐標(biāo)，這樣將有關(guān)平面幾何問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決．

[命題規(guī)律]命題多以解答題為主，屬中等偏難的試題。

例13、如圖在RtABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以A為中點，問與的夾角取何值時， 的值最大？并求出這個最大值�！　　　　　　　　　　　　　　　　　�

解：以直角頂點A為坐標(biāo)原點，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。設(shè)|AB|=c，|AC|=b，則A(0，0)，B(c，0)，C(0，b).且|PQ|=2a，|BC|=a.設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，則Q(-x，-y)，

∴cx-by=a2cos.∴=- a2+ a2cos.故當(dāng)cos=1，即=0(方向相同)時，的值最大，其最大值為0.

點評：本題主要考查向量的概念，運算法則及函數(shù)的有關(guān)知識，平面向量與幾何問題的融合�？疾閷W(xué)生運用向量知識解決綜合問題的能力。

12.點P分有向線段所成的比的： ，P內(nèi)分線段時, ;　 P外分線段時, . 定比分點坐標(biāo)公式、中點坐標(biāo)公式、三角形重心公式：

　　、、

11．兩向量平行、垂直的充要條件　 設(shè) =(，), =(，)

①a⊥ba·b=0 ，=+=0；

②(≠)充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使=λ。

向量的平行與垂直的坐標(biāo)運算注意區(qū)別，在解題時容易混淆。

10. 向量和的數(shù)量積：①·=| |·||cos，其中∈[0，π]為和的夾角。②||cos稱為在的方向上的投影。③·的幾何意義是：的長度||在的方向上的投影的乘積，是一個實數(shù)(可正、可負(fù)、也可是零)，而不是向量。

④若 =(，), =(x2，), 則

⑤運算律：a· b=b·a,　 (λa)· b=a·(λb)=λ(a·b)， (a+b)·c=a·c+b·c。

⑥和的夾角公式：cos=＝

⑦||2=x2+y2，或||=⑧| a·b |≤| a |·| b |。

9．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2。(1)不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量。

8． 向量共線定理　 向量與非零向量共線(也是平行)的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使=λ。

7．實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作：λ

(1)|λ|=|λ|||；(2)λ>0時λ與方向相同；λ<0時λ與方向相反；λ=0時λ=；(3)運算定律　 λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ

6.向量的加法、減法：

①求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。②向量的減法向量加上的相反向量，叫做與的差。即： -= + (-)；

差向量的意義： = ,　 =, 則=-

③平面向量的坐標(biāo)運算：若，，則，，。

④向量加法的交換律：+=+；向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+)

5.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.