投影

達(dá)爾文頭像

大家一定還記得恩格斯《在馬克思墓前的講話》一文中，把達(dá)爾文發(fā)現(xiàn)有機(jī)界的發(fā)展規(guī)律和馬克思發(fā)現(xiàn)人類(lèi)歷史的發(fā)展規(guī)律相提并論。一百多年前，達(dá)爾文的思想改變了人們對(duì)世界的看法，一百多年來(lái)，這思想影響了一代又一代的人。作為跨世紀(jì)的新一代，你了解達(dá)爾文嗎？你知道進(jìn)化論嗎？今天我們就一起來(lái)打開(kāi)達(dá)爾文進(jìn)化論之門(mén)。

10.某人乘坐出租車(chē)從A地到乙地，有兩種方案：第一種方案，乘起步價(jià)為10元，每km價(jià)1.2元的出租車(chē)；第二種方案，乘起步價(jià)為8元，每km價(jià)1.4元的出租車(chē)，按出租車(chē)管理?xiàng)l例，在起步價(jià)內(nèi)，不同型號(hào)的出租車(chē)行駛的里路是相等的，則此人從A地到B地選擇哪一種方案比較適合？

解：設(shè)A地到B地距離為mkm，起步價(jià)內(nèi)行駛的路為akm

顯然，當(dāng)m≤a時(shí)，選起步價(jià)為8元的出租車(chē)比較合適

當(dāng)m>a時(shí)，設(shè)m=a+x(x>0)，乘坐起步價(jià)為10元的出租車(chē)費(fèi)用為P(x)元，乘坐起步價(jià)為8元的出租車(chē)費(fèi)用為Q(x)元，則P(x)=10+1.2x，Q(x)=8+1.4x

∵ P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x)

∴ 當(dāng)x>10時(shí)，P(x)<Q(x)，此時(shí)起步價(jià)為10元的出租車(chē)比較合適

當(dāng)x<10時(shí)，P(x)>Q(x)，此時(shí)選起步價(jià)為8元的出租車(chē)比較合適

當(dāng)x=10時(shí)，P(x)=Q(x)，此時(shí)兩種出租車(chē)任選

[探索題]設(shè)關(guān)于x的方程2x²－ax－2=0的兩根為α、β(α＜β)，函數(shù)．

(Ⅰ)求f (α)f (β)的值；

(Ⅱ)證明f (x)是[α，β]上的增函數(shù)；

(Ⅲ)當(dāng)a為何值時(shí)，f (x)在區(qū)間[α，β]上的最大值與最小值之差最小？

解：(Ⅰ)由題意知α+β＝，α·β＝－1，∴α²+β²＝，

f (α)·f (β)＝

．

(Ⅱ)證明：設(shè)α≤x₁<x₂≤β,

所以f(x)在[α,β]在是增函數(shù).

(法2:導(dǎo)數(shù)法)

(Ⅲ)f (x)在區(qū)間[α，β]上的最大值f (β)＞0，最小值f (α)＜0，

又∵| f (α)·f (β) |＝4，

∴f (β)－f (α)＝| f (β)|+| f (α)|≥

當(dāng)且僅當(dāng)| f (β)|＝| f (α)|＝2時(shí)取“＝”號(hào)，此時(shí)f (β)＝2，f (α)＝－2

∴

由(1)、(2)得 ，∴a＝0為所求。

9.用一塊矩形木板緊貼一墻角圍成一直三棱柱空間堆放谷物，已知木板的長(zhǎng)為a，寬為b，墻角的兩堵墻面和地面兩兩互相垂直,怎樣圍法，使直三棱柱的空間最大？這個(gè)最大值是多少？

解：如圖：A-CC₁---B是二墻面所成直二面角, CC₁面ABC

(AC=CB時(shí)取”=”)

當(dāng)AB=a,AA₁=b時(shí)，

當(dāng)AB=b,AA₁=a時(shí)，

8. (2004全國(guó)IV)已知數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和S_n滿足.

(1)寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)；

(2)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(3)證明：對(duì)任意的整數(shù)m>4，有

　.

(Ⅰ)解：由

由

由

(Ⅱ)解：當(dāng)時(shí)，有

　 ……

　所以　

　經(jīng)驗(yàn)證a₁也滿足上式，所以

(Ⅲ)證明：

記

(想用放縮法)

注意到

. 一般地

即

　 ∴當(dāng)m是奇數(shù)時(shí),

當(dāng)m是偶數(shù)時(shí),再添上第m­­­+1項(xiàng)(放大了)湊夠奇數(shù)項(xiàng),利用上述結(jié)論可知也成立,

所以對(duì)任意整數(shù)m>4，有

7. (2003福建質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=|log₂(x+1)|，實(shí)數(shù)m、n在其定義域內(nèi)，且m＜n，f(m)=f(n).

求證：(1)m+n＞0；

(2)f(m²)＜f(m+n)＜f(n²).

(1)證法一：由f(m)=f(n)，得|log₂(m+1)|=|log₂(n+1)|，即log₂(m+1)=±log₂(n+1)，

log₂(m+1)=log₂(n+1)，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

或log₂(m+1)=log₂.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①得m+1=n+1，與m＜n矛盾，舍去.

由②得m+1=，即(m+1)(n+1)=1.　　　　　　　　　　 ③

∴m+1＜1＜n+1.∴m＜0＜n.∴mn＜0.

由③得mn+m+n=0，m+n=－mn＞0.

證法二：(同證法一得)(m+1)(n+1)=1.

∵0＜m+1＜n+1，∴＞=1.∴m+n+2＞2.∴m+n＞0.

(2)證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=|log₂(x+1)|=log₂(x+1)在(0，+∞)上為增函數(shù).

由(1)知m²－(m+n)=m²+mn=m(m+n)，且m＜0，m+n＞0，∴m(m+n)＜0.

∴m²－(m+n)＜0，0＜m²＜m+n.

∴f(m²)＜f(m+n).

同理，(m+n)－n²=－mn－n²=－n(m+n)＜0，

∴0＜m+n＜n².∴f(m+n)＜f(n²).

∴f(m²)＜f(m+n)＜f(n²).

6．設(shè)+=1，a、b∈N^*，則a=.

∴a+b=+b，b＞9時(shí)，

a+b=+b－9+10≥16.

=b－9，即b=12取等號(hào)，此時(shí)a=4.

b＜9無(wú)解.∴a=4，b=12.答案：4　 12

[解答題]

5．x＞3或x＜1；

3．命題p:；命題q:a<2.命題p、q一真一假得1<a<2。

2.可知當(dāng)3≤x≤4時(shí)，f(x)=－2+x.

當(dāng)4＜x≤5時(shí)，f(x)=6－x, 周期是2

故在(－1，0)上增，在(0，1)上減.又由|cos2|＜|sin2|，

∴f(cos2)＞f(sin2)

6.在下面等號(hào)右側(cè)兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母方塊處，各填上一個(gè)自然數(shù)，并且使這兩個(gè)自然數(shù)的和最小，1=.

◆簡(jiǎn)答提示：1-4.ADCD;　 1. 易證M＞4，N≤4＜M.