已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點O,且在點處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實數(shù)的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

【解析】第一問當(dāng)時，，則。

依題意得：，即    解得

第二問當(dāng)時，，令得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值

第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.

（Ⅰ）當(dāng)時，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當(dāng)時，，令得

當(dāng)變化時，的變化情況如下表：

		0
	—	0	+	0	—
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

又，，�！�在上的最大值為2.

②當(dāng)時, .當(dāng)時, ,最大值為0；

當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增�！�在最大值為。

綜上，當(dāng)時，即時，在區(qū)間上的最大值為2；

當(dāng)時，即時，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調(diào)遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上

 

設(shè)定義在R的函數(shù)，R. 當(dāng)時，取得極大值，且函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.

 （I）求函數(shù)的表達(dá)式；

 （II）判斷函數(shù)的圖象上是否存在兩點，使得以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標(biāo)在區(qū)間上，并說明理由；

 （III）設(shè)，（），求證：.

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx，當(dāng)時，f（x）取得極大值，并且函數(shù)y=f'（x）的圖象關(guān)于y軸對稱．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）若曲線C對應(yīng)的解析式為，求曲線C過點P（2，4）的切線方程；
（3）（實）過點可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx，當(dāng)x=-時，f（x）取得極大值，并且函數(shù)y=f′（x）的圖象關(guān)于y軸對稱．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若曲線C對應(yīng)的解析式為，求曲線過點P（2，4）的切線方程．