Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx，當(dāng)x=-時(shí)，f（x）取得極大值，并且函數(shù)y=f′（x）的圖象關(guān)于y軸對稱．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若曲線C對應(yīng)的解析式為，求曲線過點(diǎn)P（2，4）的切線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于y軸對稱，得到函數(shù)是偶函數(shù)即f（x）=f（-x），得到b=0然后代入解析式中，又因?yàn)楫?dāng)x=-時(shí)，f（x）取得極大值得f（-）=，f′（）=0解出a與b得到f（x）的解析式；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（x，y），表示出切線方程把P（2，4）代入切線方程得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入切線方程即可．
解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx+c為偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x），
∴3ax²-2bx+c=3ax²+2bx+c，
∴2bx=0得到b=0，
∴f（x）=ax³+cx
又當(dāng)x=-時(shí)，f（x）取得極大值得
f（-）=，f′（）=0
∴解得，
∴f（x）=x³-x
（2），
設(shè)切點(diǎn)為（x，y），則
切線方程為：，
代入點(diǎn)P（2，4）化簡得：x³-3x²+4=0，解得x=-1，2，
所以切線方程為：x-y+2=0和4x-y-4=0．
點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)某點(diǎn)的切線方程的能力．