題目列表(包括答案和解析)
(本題滿分12分)
設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2-3x+b(a,b∈R)在x=x1,x=x2處取得極值,且|x1-x2|=2(1)求a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若存在x0∈(x1,x2),使得f(x0)=0,求b的取值范圍
(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f (x) = (b,c∈N*),若方程f(x) = x的解為0,2,且f (–2)<–.(Ⅰ)試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列{an}滿足4Sn·f () = 1,其中Sn為{an}的前n項(xiàng)和.求證:.
.(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)為奇函數(shù),導(dǎo)函數(shù)的最小值為-12,函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線與直線垂直.(1)求a,b,c的值;(2)求的各個(gè)單調(diào)區(qū)間,并求在[-1, 3]時(shí)的最大值和最小值.
(本題滿分12分) 設(shè)函數(shù)f(x)=x2-6x+4lnx(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若存在實(shí)數(shù)a,使方程f(x)=a恒有三個(gè)不等實(shí)根,求a的取值范圍
(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)(1) 求函數(shù);??(2) 若存在常數(shù)k和b,使得函數(shù)對其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)分別滿足則稱直線的“隔離直線”.試問:函數(shù)是否存在“隔離直線”?若存在,求出“隔離直線”方程,不存在,請說明理由.
一.選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
B
A
C
D
D
D
A
B
A
A
二.填空題
13.4; 14. ; 15.15; 16.,可以填寫任一實(shí)數(shù).
三.解答題
17. (Ⅰ)列表:
2
6
10
14
0
1
3
1
1
描點(diǎn)作圖,得圖象如下.
6分
(Ⅱ)
所以,當(dāng),即時(shí),函數(shù)取得最小值. 12分
18.由圖可知,參加活動(dòng)1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)分別為5、25和20.
(I)該班學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)為=. 6分
(II)從該班中任選兩名學(xué)生,他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率為. 12分
19.(Ⅰ)∵AD=2AB=2,E是AD的中點(diǎn),
∴△BAE,△CDDE是等腰直角三角形,
易知,∠BEC=90°,即BE⊥EC
又∵平面D′EC⊥平面BEC,面D′EC∩面BEC=EC,
∴BE⊥面D′EC,又CD′面D′EC,∴BE⊥CD′. 6分
(Ⅱ)法一:設(shè)M是線段EC的中點(diǎn),過M作MF⊥BC
垂足為F,連接D′M,D′F,則D′M⊥EC
∵平面D′EC⊥平面BEC,
∴D′M⊥平面EBC,
∴MF是D′F在平面BEC上的射影,
由三垂線定理得:D′F⊥BC
∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.
在Rt△D′MF中,
∴,
即二面角D′―BC―E的正切值為. 12分
法二:如圖,以EB,EC為x軸,y軸,過E垂直于平面BEC的射線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則
設(shè)平面BEC的法向量為;平面D′BC的法向量為
由
取
∴
∴二面角D′―BC―E的正切值為. 12分
20.(I),
(II)由(I)知
21(Ⅰ)設(shè)橢圓C的方程為,則由題意知b = 1.
∴橢圓C的方程為 …………………………………………………6分
(Ⅱ)易知直線的斜率為,從而直線的斜率為1.設(shè)直線的方程為,代如橢圓的方程,并整理可得.設(shè),則,.于是
解之得或.
當(dāng)時(shí),點(diǎn)即為直線與橢圓的交點(diǎn),不合題意.當(dāng)時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)知和橢圓相交,符合題意.
所以,當(dāng)且僅當(dāng)直線的方程為時(shí), 點(diǎn)是的垂心. 12分
22.(Ⅰ)對一切有
于是,
() 5分
(Ⅱ)由及
兩式相減,得:
∴. 10分
(Ⅲ) 由于,
所以, 14分
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