已知A、D分別為橢圓E： 的左頂點與上頂點，橢圓的離心率，F_1­、F₂為橢圓的左、右焦點，點P是線段AD上的任一點，且的最大值為1 ．

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且OAOB（O為坐標原點），若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由；

（3）設直線l與圓相切于A₁，且l與橢圓E有且僅有一個公共點B₁，當R為何值時，|A₁B₁|取得最大值？并求最大值．

兩圓x²＋y²－4x＋2y＋1＝0與x²＋y²＋4x－4y－1＝0的公共切線有(     )．

A．1條              B．2條              C．3條              D．4條

（滿分14分）設,在平面直角坐標系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E．

   （1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀；

   （2）已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且（O為坐標原點）,并求出該圓的方程；

   （3）已知,設直線與圓C:（1<R<2）相切于A₁,且與軌跡E只有一個公共點B₁,當R為何值時,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值．