題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)
如圖,在直三棱柱中, AB=1,,∠ABC=60.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)求二面角A――B的大小。
(本小題滿分12分)
如圖,在直三棱柱中,平面側面
(Ⅰ)求證:
(Ⅱ)若,直線AC與平面所成的角為,二面角
(本小題滿分12分)
如圖,在直三棱柱中,平面側面。
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)若直線AC與平面A1BC所成的角為θ,二面角A1-BC-A的大小為φ,試判斷θ與φ的大小關系,并予以證明。
(本小題滿分12分)
如圖,在直三棱柱中,平面側面。
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)若直線AC與平面A1BC所成的角為θ,二面角A1-BC-A的大小為φ,試判斷θ與φ的大小關系,并予以證明。
(本小題滿分12分)
如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,,2AB=2BC=CC1=2,D是棱CC1的中點。
(Ⅰ)求證平面ABD;
(Ⅱ)平面AB1D與側面BB1C1C所成銳角的大小。
一、選擇題:本題考查基礎知識和基本運算.第小題5分,滿分50分.
1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.A 7.A 8.D 9.B 10.B
二、填空題:本題考查基礎知識和基本運算,第小題5分,滿分25分.
11.10 12.30°(或) 13.2 14.0.98
15.(3,-2),(x+2)2+(y-3)2=16(或x2+y2+4x-6y-3=0)
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.設
A. B. C. D.
解:,,選C
2. 的展開式中常數項是
A.210 B. C. D.-105
解:,令得
所以常數項為
3.若集合
A. “”是“”的充分條件但不是必要條件
B. “”是“”的必要條件但不是充分條件
C. “”是“”的充要條件
D. “”既不是“”的充分條件也不是“”的必要條件
解:反之不然故選A
4.用與球心距離為1的平面去截面面積為,則球的體積為
A. B. C. D.
解:截面面積為截面圓半徑為1,又與球心距離為球的半徑是,
所以根據球的體積公式知,故D為正確答案.
5.在平面直角坐標系中,滿足不等式組的點的集合用陰影表示為下列圖中的
解:在坐標系里畫出圖象,C為正確答案。也可取點坐標檢驗判斷。
6.已知在R上是奇函數,且
A. B. C. D.
解:由題設
7.將函數的圖象F向右平移個單位長度得到圖象F′,若F′的一條對稱軸是直線則的一個可能取值是
A. B. C. D.
解: 平移得到圖象的解析式為,
對稱軸方程,
把帶入得,令,
8. 函數的定義域為
A. B.
C. D.
解:函數的定義域必須滿足條件:
9.從5名男生和5名女生中選3人組隊參加某集體項目的比賽,其中至少有一名女生入選的組隊方案數為
A.100 B.110 C.120 D.180
解:10人中任選3人的組隊方案有,沒有女生的方案有,
所以符合要求的組隊方案數為110種。
10.如圖所示,“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉移軌道飛向月球,在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行,最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進入以F為圓形軌道Ⅲ繞月飛行,若用和分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的焦距,用和分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的長軸的長,給出下列式子:
①②③④其中正確式子的序號是
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
解:由焦點到頂點的距離可知②正確,由橢圓的離心率知③正確,故應選B.
二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分,把答案填在答題卡相應位置上.
11.一個公司共有1 000名員工,下設一些部門,要采用分層抽樣方法從全體員工中抽取一個容量為50的樣本,已知某部門有200名員工,那么從該部門抽取的工人數是 .
解:由分層抽樣方法可知從該部門抽取的工人數滿足
12.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對的邊,已知則A= .
解:由余弦定理可得,
13.方程的實數解的個數為 .
解:畫出與的圖象有兩個交點,故方程的實數解的個數為2個。
14.明天上午李明要參加奧運志愿者活動,為了準時起床,他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己,假設甲鬧鐘準時響的概率是0.80,乙鬧鐘準時響的概率是0.90,則兩個鬧鐘至少有一準時響的概率是 .
解:兩個鬧鐘都不準時響的概率是,所以至少有一準時響的概率是
15.圓的圓心坐標為 , 和圓C關于直線對稱的圓C′的普通方程是 .
解:由題設,圓心坐標;關于直線對稱的圓C′圓心為,半徑相等,所以方程是
三、解答題:本大題共6分小題,共75分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
16.(本小題滿12分)
已知函數
(Ⅰ)將函數化簡成的形式,并指出的周期;
(Ⅱ)求函數上的最大值和最小值
解:(Ⅰ).
故的周期為{k∈Z且k≠0}.
(Ⅱ)由π≤x≤π,得.因為f(x)=在[]上是減函數,在[]上是增函數.
故當x=時,f(x)有最小值-;而f(π)=-2,f(π)=-<-2,
所以當x=π時,f(x)有最大值-2.
17.(本小題滿分12分)
已知函數(m為常數,且m>0)有極大值9.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若斜率為-5的直線是曲線的切線,求此直線方程.
解:(Ⅰ) f’(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,則x=-m或x=m,
當x變化時,f’(x)與f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,-m)
-m
(-m,)
(,+∞)
f’(x)
+
0
-
0
+
f (x)
極大值
極小值
從而可知,當x=-m時,函數f(x)取得極大值9,
即f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3+2x2-4x+1,
依題意知f’(x)=3x2+4x-4=-5,∴x=-1或x=-.
又f(-1)=6,f(-)=,
所以切線方程為y-6=-5(x+1),或y-=-5(x+),
即5x+y-1=0,或135x+27y-23=0.
18.(本小題滿分12分)
如圖,在直三棱柱中,平面?zhèn)让?/p>
(Ⅰ)求證:
(Ⅱ)若,直線AC與平面所成的角為,二面角
解:(Ⅰ)證明:如右圖,過點A在平面A1ABB1內作AD⊥A1B于D,則
由平面A1BC⊥側面A1ABB1,且平面A1BC∩側面A1ABB1=A1B,
得AD⊥平面
A1BC.又BC平面A1BC
所以AD⊥BC.
因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
則AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.
又AA1∩AD=A,從而BC⊥側面A1ABB1,
又AB側面A1ABB1,
故AB⊥BC.
(Ⅱ)證法1:連接CD,則由(Ⅰ)知∠ACD就是直線AC與平面A1BC所成的角,∠ABA1就是二面角A1-BC-A的頰角,即∠ACD=θ,∠ABA1=j.
于是在RtΔADC中,sinθ=,在RtΔADA1中,sin∠AA1D=,
∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ與∠AA1D都是銳角,所以θ=∠AA1D.
又由RtΔA1AB知,∠AA1D+j=∠AA1B+j=,故θ+j=.
證法2:由(Ⅰ)知,以點B為坐標原點,以BC、BA、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.
設AB=c(c<a=,則B(0,0,0),A(0,c,0),C(),
A1(0,c,a),于是,=(0,c,a),
,=(0,c,a)
設平面A1BC的一個法向量為n=(x,y,z),
則由
可取n=(0,-a,c),于是
n?=ac>0,與n的夾角b為銳角,則b與q互為余角.
sinq=cosb=,
cosj=
所以sinq=cosj=sin(),又0<q,j<,所以q+j=.
19.(本不題滿分12分)
如圖,要設計一張矩形廣告,該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目(即圖中陰影部分),這兩欄的面積之和為18000cm2,四周空白的寬度為10cm,兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm,怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位:cm),能使矩形廣告面積最?
解:
解法1:設矩形欄目的高為a cm,寬為b cm,則ab=9000. ①
廣告的高為a+20,寬為2b+25,其中a>0,b>0.
廣告的面積S=(a+20)(2b+25)
=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b
≥18500+2=18500+
當且僅當25a=40b時等號成立,此時b=,代入①式得a=120,從而b=75.
即當a=120,b=75時,S取得最小值24500.
故廣告的高為140 cm,寬為175 cm時,可使廣告的面積最小.
解法2:設廣告的高為寬分別為x cm,y cm,則每欄的高和寬分別為x-20,其中x>20,y>25
兩欄面積之和為2(x-20),由此得y=
廣告的面積S=xy=x()=x,
整理得S=
因為x-20>0,所以S≥2
當且僅當時等號成立,
此時有(x-20)2=14400(x>20),解得x=140,代入y=+25,得y=175,
即當x=140,y=175時,S取得最小值24500,
故當廣告的高為140 cm,寬為175 cm時,可使廣告的面積最小.
20(本小題滿分13分)
已知雙曲線的兩個焦點為
的曲線C上.
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)記O為坐標原點,過點Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,若△OEF的面積為求直線l的方程
解:(Ⅰ)解法1:依題意,由a2+b2=4,得雙曲線方程為(0<a2<4),
將點(3,)代入上式,得.解得a2=18(舍去)或a2=2,
故所求雙曲線方程為
解法2:依題意得,雙曲線的半焦距c=2.
2a=|PF1|-|PF2|=
∴a2=2,b2=c2-a2=2.
∴雙曲線C的方程為
(Ⅱ)解法1:依題意,可設直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理,
得(1-k2)x2-4kx-6=0.
∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,
∴
∴k∈(-)∪(1,).
設E(x1,y1),F(x2,y2),則由①式得x1+x2=于是
|EF|=
=
而原點O到直線l的距離d=,
∴SΔOEF=
若SΔOEF=,即解得k=±,
滿足②.故滿足條件的直線l有兩條,其方程分別為y=和
解法2:依題意,可設直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理,
得(1-k2)x2-4kx-6=0. ①
∵直線l與比曲線C相交于不同的兩點E、F,
∴
∴k∈(-)∪(1,). ②
設E(x1,y1),F(x2,y2),則由①式得
|x1-x2|=. ③
當E、F在同一支上時(如圖1所示),
SΔOEF=|SΔOQF-SΔOQE|=;
當E、F在不同支上時(如圖2所示),
SΔOEF=SΔOQF+SΔOQE=
綜上得SΔOEF=,于是
由|OQ|=2及③式,得SΔOEF=.
若SΔOEF=2,即,解得k=±,滿足②.
故滿足條件的直線l有兩條,方程分別為y=和y=
21.(本小題滿分14分)
已知數列,其中為實數,為正整數.
(Ⅰ)證明:當
(Ⅱ)設為數列的前n項和,是否存在實數,使得對任意正整數n,都有 若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.
解: (Ⅰ)證明:假設存在一個實數l,使{an}是等比數列,則有,即
()2=2矛盾.
所以{an}不是等比數列.
(Ⅱ)證明:∵
又由上式知
故當數列{bn}是以為首項,為公比的等比數列.
(Ⅲ)當由(Ⅱ)得于是
當時,,從而上式仍成立.
要使對任意正整數n , 都有
即
令
當n為正奇數時,當n為正偶數時,
于是可得
綜上所述,存在實數,使得對任意正整數,都有
的取值范圍為
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com