(A) (B)隨機變量ξ的期望與標準差均為1 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片,卡片上分別標有數(shù)-i,i,-2,2其中i是虛數(shù)單位.稱“從盒中隨機抽取一張,記下卡片上的數(shù)后并放回”為一次試驗(設(shè)每次試驗的結(jié)果互不影響).
(1)求事件A“在一次試驗中,得到的數(shù)為虛數(shù)”的概率P(A)與事件B“在四次試驗中,至少有兩次得到虛數(shù)”的概率P(B);
(2)在兩次試驗中,記兩次得到的數(shù)分別為a,b,求隨機變量ξ=|a•b|的分布列與數(shù)學期望Eξ.

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據(jù)IEC(國際電工委員會)調(diào)查顯示,小型風力發(fā)電項目投資較少,且開發(fā)前景廣闊,但受風力自然資源影響,項目投資存在一定風險.根據(jù)測算,風能風區(qū)分類標準如下:

假設(shè)投資A項目的資金為≥0)萬元,投資B項目資金為≥0)萬元,調(diào)研結(jié)果是:未來一年內(nèi),位于一類風區(qū)的A項目獲利的可能性為,虧損的可能性為;位于二類風區(qū)的B項目獲利的可能性為,虧損的可能性是,不賠不賺的可能性是.
(1)記投資A,B項目的利潤分別為,試寫出隨機變量的分布列和期望,
(2)某公司計劃用不超過萬元的資金投資于A,B項目,且公司要求對A項目的投
資不得低于B項目,根據(jù)(1)的條件和市場調(diào)研,試估計一年后兩個項目的平均利
潤之和的最大值.

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據(jù)IEC(國際電工委員會)調(diào)查顯示,小型風力發(fā)電項目投資較少,且開發(fā)前景廣闊,但受風力自然資源影響,項目投資存在一定風險.根據(jù)測算,風能風區(qū)分類標準如下:

假設(shè)投資A項目的資金為≥0)萬元,投資B項目資金為≥0)萬元,調(diào)研結(jié)果是:未來一年內(nèi),位于一類風區(qū)的A項目獲利的可能性為,虧損的可能性為;位于二類風區(qū)的B項目獲利的可能性為,虧損的可能性是,不賠不賺的可能性是.
(1)記投資A,B項目的利潤分別為,試寫出隨機變量的分布列和期望,;
(2)某公司計劃用不超過萬元的資金投資于A,B項目,且公司要求對A項目的投
資不得低于B項目,根據(jù)(1)的條件和市場調(diào)研,試估計一年后兩個項目的平均利
潤之和的最大值.

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指針位置A區(qū)域B區(qū)域C區(qū)域
返存金額(單位:元)60300
五一節(jié)期間,某商場為吸引顧客消費推出一項優(yōu)惠活動.活動規(guī)則如下:消費額每滿100元可轉(zhuǎn)動如
圖所示的轉(zhuǎn)盤一次,并獲得相應(yīng)金額的返券.(假定指針等可能地停在任一位置,指針落在區(qū)域的邊界時,重新轉(zhuǎn)一次)指針所在的區(qū)域及對應(yīng)的返劵金額見右上表.
例如:消費218元,可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次,所獲得的返券金額是兩次金額之和.
(1)已知顧客甲消費后獲得n次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會,已知他每轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的概率為p,每次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的結(jié)果相互獨立,設(shè)ξ為顧客甲轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的次數(shù),ξ的數(shù)學期望數(shù)學公式,標準差數(shù)學公式,求n、p的值;
(2)顧客乙消費280元,并按規(guī)則參與了活動,他獲得返券的金額記為η(元).求隨機變量η的分布列和數(shù)學期望.

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指針位置A區(qū)域B區(qū)域C區(qū)域
返存金額(單位:元)6030
五一節(jié)期間,某商場為吸引顧客消費推出一項優(yōu)惠活動.活動規(guī)則如下:消費額每滿100元可轉(zhuǎn)動如
圖所示的轉(zhuǎn)盤一次,并獲得相應(yīng)金額的返券.(假定指針等可能地停在任一位置,指針落在區(qū)域的邊界時,重新轉(zhuǎn)一次)指針所在的區(qū)域及對應(yīng)的返劵金額見右上表.
例如:消費218元,可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次,所獲得的返券金額是兩次金額之和.
(1)已知顧客甲消費后獲得n次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會,已知他每轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的概率為p,每次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的結(jié)果相互獨立,設(shè)ξ為顧客甲轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的次數(shù),ξ的數(shù)學期望,標準差,求n、p的值;
(2)顧客乙消費280元,并按規(guī)則參與了活動,他獲得返券的金額記為η(元).求隨機變量η的分布列和數(shù)學期望.

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一、選擇題:本大題共12個小題,每小題5分,共60分.

1-5:DBADC; 6-10:BACDC; 11-12: BC.

二、填空題:本大題共4個小題,每小題4分,共16分.

13.3; 14.-4; 15.1; 16.

三、解答題:本大題共6個小題,共74分.解答要寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

 

17.解:(Ⅰ)∵l1∥l2,

,????????????????????????? 3分

,

.??????????????????????? 6分

(Ⅱ)∵

,∴,當且僅當時。ⅲ剑ⅲ??? 8分

,∴,???????????? 10分

,當且僅當時。ⅲ剑ⅲ

故△ABC面積取最大值為.?????????????????????? 12分

 

18.解:(Ⅰ)ξ=3表示取出的三個球中數(shù)字最大者為3.

①三次取球均出現(xiàn)最大數(shù)字為3的概率;??????????? 1分

②三次取球中有2次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率;????? 3分

③三次取球中僅有1次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率.????? 5分

∴P(ξ=3)=P1+P2+P3=.??????????????????????? 6分

(Ⅱ)在ξ=k時, 利用(Ⅰ)的原理可知:

(k=1、2、3、4).?? 8分

則ξ的概率分布列為:

ξ

1

2

3

4

P

??????????????????????????????????? 10分

∴ξ的數(shù)學期望Eξ=1×+2×+3×+4× = .????????? 12分

 

19.(Ⅰ)證明:∵四邊形AA1C1C是菱形,∴AA1=A1C1=C1C=CA=1,∴△AA1B是等邊三角形,設(shè)O是AA1的中點,連接BO,則BO⊥AA1 2分

∵側(cè)面ABB1A1⊥AA1C1C,∴BO⊥平面AA1C1C,菱形AA1C1C面積為,知C到AA1的距離為,,∴△AA1C1是等邊三角形,且C1O⊥AA1,又C1O∩BO=O.

∴AA1⊥面BOC1,又BC1Ì面BOC1.∴AA1⊥BC1.??????????????? 4分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知OA、OC1、OB兩兩垂直,以O(shè)為原點,建立如圖空間直角坐標系,則,,,.則,,.??????????????????????????? 5分

設(shè)是平面ABC的一個法向量,

,則.設(shè)A1到平面ABC的距離為d.

.????????????????????? 8分

(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知平面ABC的一個法向量是,又平面ACC1的一個法向量.    9分

.????????????????? 11分

∴二面角B-AC-C1的余弦值是.??????????????????? 12分

 

20.解:(Ⅰ),對稱軸方程為,故函數(shù)在[0,1]上為增函數(shù),∴.???????????????????????? 2分

時,.?????????????????????????? 3分

            ①

       ②

②-①得,即,?????????????? 4分

,∴數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列.

,∴.?????????????? 6分

(Ⅱ)∵,∴

???????????????? 7分

可知:當時,;當時,;當時,

????????????????????? 10分

可知存在正整數(shù)或6,使得對于任意的正整數(shù)n,都有成立.??? 12分

 

21.解:(Ⅰ)設(shè),,,

,,

,,

.∵

,∴,∴.?????????????????? 2分

則N(c,0),M(0,c),所以

,則

∴橢圓的方程為.?????????????????????? 4分

(Ⅱ)∵圓O與直線l相切,則,即,????????? 5分

消去y得

∵直線l與橢圓交于兩個不同點,設(shè),

,,?????????????????? 7分

,

,,.????? 8分

.??????????? 9分

(或).

設(shè),則,,

,則

時單調(diào)遞增,????????????????????? 11分

∴S關(guān)于μ在區(qū)間單調(diào)遞增,,

.???????????????????????????? 12分

(或,

∴S關(guān)于u在區(qū)間單調(diào)遞增,???????????????????? 11分

,.)???????????????? 12分

 

22.解:(Ⅰ)因為,則,   1分

時,;當時,

上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,

∴函數(shù)處取得極大值.???????????????????? 2分

∵函數(shù)在區(qū)間(其中)上存在極值,

解得.??????????????????????? 3分

(Ⅱ)不等式,即為,???????????? 4分

,∴,?? 5分

,則,∵,∴上遞增,

,從而,故上也單調(diào)遞增,

.??????????????????????????????? 7分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知:恒成立,即,??? 8分

,??????????????? 9分

,

………

,??????????????????????? 10分

疊加得:

.???????????????????? 12分

,

.???????????????????? 14


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