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題目列表(包括答案和解析)

(本題滿分14分)

已知實(shí)數(shù),曲線與直線的交點(diǎn)為(異于原點(diǎn)),在曲線 上取一點(diǎn),過點(diǎn)平行于軸,交直線于點(diǎn),過點(diǎn)平行于軸,交曲線于點(diǎn),接著過點(diǎn)平行于軸,交直線于點(diǎn),過點(diǎn)平行于軸,交曲線于點(diǎn),如此下去,可以得到點(diǎn),…,,… .  設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,.

(Ⅰ)試用表示,并證明;   

(Ⅱ)試證明,且);

(Ⅲ)當(dāng)時(shí),求證:  ().

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(本題滿分14分)

 已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線方程為

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若方程內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,求的取值范圍(其中為自然對數(shù)的底數(shù));

(Ⅲ)令,若的圖象與軸交于,(其中),的中點(diǎn)為,求證:處的導(dǎo)數(shù)

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(本題滿分14分)

已知曲線方程為,過原點(diǎn)O作曲線的切線

(1)求的方程;

(2)求曲線,軸圍成的圖形面積S;

(3)試比較的大小,并說明理由。

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(本題滿分14分)

已知中心在原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓,左焦點(diǎn),一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)

(1)求橢圓方程;

(2)直線過橢圓的右焦點(diǎn)交橢圓于A、B兩點(diǎn),當(dāng)△AOB面積最大時(shí),求直線方程。

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(本題滿分14分)

如圖,在直三棱柱中,,,求二面角的大小。    

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1.1   2.    3.    4.-8    5.   6.20         7.

8.1   9.0     10.    11.   12.     13.   14.(1005,1004)

15.⑴ ∵ ,……………………………… 2分

又∵ ,∴ 為斜三角形,

,∴.   ……………………………………………………………… 4分

,∴ .  …………………………………………………… 6分

⑵∵,∴ …12分

,∵,∴.…………………………………14分

16.⑴∵平面,平面,所以,…2分

是菱形,∴,又,

平面,……………………………………………………4分

又∵平面,∴平面平面.  ……………………………………6分

⑵取中點(diǎn),連接,則,

是菱形,∴,

的中點(diǎn),∴,………………10分

∴四邊形是平行四邊形,∴,………………12分

又∵平面,平面

平面.     ………………………………………………………………14分

17.(1)∵直線過點(diǎn),且與圓相切,

設(shè)直線的方程為,即, …………………………2分

則圓心到直線的距離為,解得,

∴直線的方程為,即. …… …………………4分

(2)對于圓方程,令,得,即.又直線過點(diǎn)且與軸垂直,∴直線方程為,設(shè),則直線方程為

解方程組,得同理可得,……………… 10分

∴以為直徑的圓的方程為,

,∴整理得,……………………… 12分

若圓經(jīng)過定點(diǎn),只需令,從而有,解得

∴圓總經(jīng)過定點(diǎn)坐標(biāo)為. …………………………………………… 14分

18.⑴因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以, ……4分

   ………………………………………………………6分

⑵設(shè)每小時(shí)通過的車輛為,則.即 ……12分

,…………………………………………………14分

,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取最大值

答:當(dāng)時(shí),大橋每小時(shí)通過的車輛最多.………16分

19.(1)由,得

∴b、c所滿足的關(guān)系式為.……………………2分

(2)由,,可得

方程,即,可化為

,則由題意可得,上有唯一解,…4分

,由,可得,

當(dāng)時(shí),由,可知是增函數(shù);

當(dāng)時(shí),由,可知是減函數(shù).故當(dāng)時(shí),取極大值.………6分

由函數(shù)的圖象可知,當(dāng)時(shí),方程有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)解.

故所求的取值范圍是.  ……………………………………………8分

(3)由,,可得.由.…10分

當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí)(),;當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),. ………………………16分

注:可直接通過研究函數(shù)的圖象來解決問題.

20.(1)由,且等差數(shù)列的公差為,可知,

若插入的一個(gè)數(shù)在之間,則,,

消去可得,其正根為. ………………………………2分

若插入的一個(gè)數(shù)在之間,則,

消去可得,此方程無正根.故所求公差.………4分

(2)設(shè)在之間插入個(gè)數(shù),在之間插入個(gè)數(shù),則,在等比數(shù)列中,

,…,,

   ………………8分

又∵,都為奇數(shù),∴可以為正數(shù),也可以為負(fù)數(shù).

①若為正數(shù),則,所插入個(gè)數(shù)的積為;

②若為負(fù)數(shù),中共有個(gè)負(fù)數(shù),

當(dāng)是奇數(shù),即N*)時(shí),所插入個(gè)數(shù)的積為;

當(dāng)是偶數(shù),即N*)時(shí),所插入個(gè)數(shù)的積為

綜上所述,當(dāng)N*)時(shí),所插入個(gè)數(shù)的積為;

當(dāng)N*)時(shí),所插入個(gè)數(shù)的積為.…………10分

注:可先將表示,然后再利用條件消去進(jìn)行求解.

(3)∵在等比數(shù)列,由,可得,同理可得

,即, …………………………12分

假設(shè)是有理數(shù),若為整數(shù),∵是正數(shù),且,∴

中,∵的倍數(shù),故1也是的倍數(shù),矛盾.

不是整數(shù),可設(shè)(其中為互素的整數(shù),),

則有,即,

,可得,∴是x的倍數(shù),即是x的倍數(shù),矛盾.

是無理數(shù).……………………………………16分

 

 

附加題部分

21B.設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn),在矩陣A變換下得到另一點(diǎn),

則有,…………………………………………………………4分

      ∴…………………………………8分

又因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線上,所以,

故有, 即所得曲線方程.……………………………………… 10分

21C.將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為

,它表示以為圓心,2為半徑的圓,      …………………4分

直線方程的普通方程為,                       ………………6分

的圓心到直線的距離,………………………………………………………8分

故所求弦長為.   ………………………………………………10分

21D.由柯西不等式可得

 .…10分

22.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), 以分別為軸,

建立如圖空間直角坐標(biāo)系, 不妨設(shè)

,∴ ,

設(shè)平面的法向量為   ①

     ②

不妨設(shè)  則,即           ……………………2分


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