題目列表(包括答案和解析)
函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且。
(1)求實(shí)數(shù)a,b,并確定函數(shù)的解析式;
(2)判斷在(-1,1)上的單調(diào)性,并用定義證明你的結(jié)論;
(3)寫出的單調(diào)減區(qū)間,并判斷有無最大值或最小值?如有,寫出最大值或最小值。(本小問不需要說明理由)
【解析】本試題主要考查了函數(shù)的解析式和奇偶性和單調(diào)性的綜合運(yùn)用。第一問中,利用函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且。
解得,
(2)中,利用單調(diào)性的定義,作差變形判定可得單調(diào)遞增函數(shù)。
(3)中,由2知,單調(diào)減區(qū)間為,并由此得到當(dāng),x=-1時(shí),,當(dāng)x=1時(shí),
解:(1)是奇函數(shù),。
即,,………………2分
,又,,,
(2)任取,且,
,………………6分
,
,,,,
在(-1,1)上是增函數(shù)!8分
(3)單調(diào)減區(qū)間為…………………………………………10分
當(dāng),x=-1時(shí),,當(dāng)x=1時(shí),。
在棱長為的正方體中,是線段的中點(diǎn),.
(1) 求證:^;
(2) 求證://平面;
(3) 求三棱錐的表面積.
【解析】本試題考查了線線垂直和線面平行的判定定理和表面積公式的運(yùn)用。第一問中,利用,得到結(jié)論,第二問中,先判定為平行四邊形,然后,可知結(jié)論成立。
第三問中,是邊長為的正三角形,其面積為,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image017.png">平面,所以,
所以是直角三角形,其面積為,
同理的面積為, 面積為. 所以三棱錐的表面積為.
解: (1)證明:根據(jù)正方體的性質(zhì),
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image028.png">,
所以,又,所以,,
所以^. ………………4分
(2)證明:連接,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image033.png">,
所以為平行四邊形,因此,
由于是線段的中點(diǎn),所以, …………6分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image035.png">面,平面,所以∥平面. ……………8分
(3)是邊長為的正三角形,其面積為,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image017.png">平面,所以,
所以是直角三角形,其面積為,
同理的面積為, ……………………10分
面積為. 所以三棱錐的表面積為
已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(I)求橢圓的方程;
(II)若過點(diǎn)(2,0)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)< 時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
第一問中,利用
第二問中,利用直線與橢圓聯(lián)系,可知得到一元二次方程中,可得k的范圍,然后利用向量的<不等式,表示得到t的范圍。
解:(1)由題意知
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且 (N*),其中.
(Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ) 設(shè) (N*).
①證明: ;
② 求證:.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式,表示通項(xiàng)公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到,②由于,
所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),由得. ……2分
若存在由得,
從而有,與矛盾,所以.
從而由得得. ……6分
(Ⅱ)①證明:
證法一:∵∴
∴
∴.…………10分
證法二:,下同證法一. ……10分
證法三:(利用對(duì)偶式)設(shè),,
則.又,也即,所以,也即,又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">,所以.即
………10分
證法四:(數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)時(shí), ,命題成立;
②假設(shè)時(shí),命題成立,即,
則當(dāng)時(shí),
即
即
故當(dāng)時(shí),命題成立.
綜上可知,對(duì)一切非零自然數(shù),不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
從而.
也即
如圖所示的長方體中,底面是邊長為的正方形,為與的交點(diǎn),,是線段的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)求二面角的大小.
【解析】本試題主要考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理,以及二面角的求解的運(yùn)用。中利用,又平面,平面,∴平面由,,又,∴平面. 可得證明
(3)因?yàn)椤?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192139454539928006_ST.files/image021.png">為面的法向量.∵,,
∴為平面的法向量.∴利用法向量的夾角公式,,
∴與的夾角為,即二面角的大小為.
方法一:解:(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.連接,則點(diǎn)、,
∴,又點(diǎn),,∴
∴,且與不共線,∴.
又平面,平面,∴平面.…………………4分
(Ⅱ)∵,
∴,,即,,
又,∴平面. ………8分
(Ⅲ)∵,,∴平面,
∴為面的法向量.∵,,
∴為平面的法向量.∴,
∴與的夾角為,即二面角的大小為
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