②假設(shè)當(dāng)時.等式成立.即. ┈┈┈6分 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知,(其中

⑴求

⑵試比較的大小,并說明理由.

【解析】第一問中取,則;                         …………1分

對等式兩邊求導(dǎo),得

,則得到結(jié)論

第二問中,要比較的大小,即比較:的大小,歸納猜想可得結(jié)論當(dāng)時,

當(dāng)時,;

當(dāng)時,

猜想:當(dāng)時,運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可。

解:⑴取,則;                         …………1分

對等式兩邊求導(dǎo),得,

,則。       …………4分

⑵要比較的大小,即比較:的大小,

當(dāng)時,;

當(dāng)時,;

當(dāng)時,;                              …………6分

猜想:當(dāng)時,,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

由上述過程可知,時結(jié)論成立,

假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立,即,

當(dāng)時,

時結(jié)論也成立,

∴當(dāng)時,成立。                          …………11分

綜上得,當(dāng)時,;

當(dāng)時,;

當(dāng)時, 

 

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已知遞增等差數(shù)列滿足:,且成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式

(2)若不等式對任意恒成立,試猜想出實(shí)數(shù)的最小值,并證明.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問中,利用設(shè)數(shù)列公差為

由題意可知,即,解得d,得到通項(xiàng)公式,第二問中,不等式等價(jià)于,利用當(dāng)時,;當(dāng)時,;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。

解:(1)設(shè)數(shù)列公差為,由題意可知,即,

解得(舍去).      …………3分

所以,.        …………6分

(2)不等式等價(jià)于,

當(dāng)時,;當(dāng)時,

,所以猜想,的最小值為.     …………8分

下證不等式對任意恒成立.

方法一:數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)時,,成立.

假設(shè)當(dāng)時,不等式成立,

當(dāng)時,, …………10分

只要證  ,只要證  ,

只要證  ,只要證  ,

只要證  ,顯然成立.所以,對任意,不等式恒成立.…14分

方法二:單調(diào)性證明.

要證 

只要證  ,  

設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,        …………10分

,    …………12分

所以對,都有,可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.

,所以恒成立,

的最小值為

 

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已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且 (N*),其中

(Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ) 設(shè) (N*).

①證明: ;

② 求證:.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式,表示通項(xiàng)公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到,②由于

所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。

解:(Ⅰ)當(dāng)時,由.  ……2分

若存在,

從而有,與矛盾,所以.

從而由.  ……6分

 (Ⅱ)①證明:

證法一:∵

 

.…………10分

證法二:,下同證法一.           ……10分

證法三:(利用對偶式)設(shè),

.又,也即,所以,也即,又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">,所以.即

                    ………10分

證法四:(數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)時, ,命題成立;

   ②假設(shè)時,命題成立,即,

   則當(dāng)時,

    即

故當(dāng)時,命題成立.

綜上可知,對一切非零自然數(shù),不等式②成立.           ………………10分

②由于,

所以

從而.

也即

 

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