已知遞增等差數(shù)列滿足:,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若不等式對任意恒成立,試猜想出實數(shù)的最小值,并證明.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中,利用設數(shù)列公差為,
由題意可知,即,解得d,得到通項公式,第二問中,不等式等價于,利用當時,;當時,;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。
解:(1)設數(shù)列公差為,由題意可知,即,
解得或(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等價于,
當時,;當時,;
而,所以猜想,的最小值為. …………8分
下證不等式對任意恒成立.
方法一:數(shù)學歸納法.
當時,,成立.
假設當時,不等式成立,
當時,, …………10分
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,顯然成立.所以,對任意,不等式恒成立.…14分
方法二:單調性證明.
要證
只要證 ,
設數(shù)列的通項公式, …………10分
, …………12分
所以對,都有,可知數(shù)列為單調遞減數(shù)列.
而,所以恒成立,
故的最小值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
1 |
2a1 |
1 |
2a2 |
1 |
2an |
m | ||
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年山東省濟寧市汶上一中高二(下)期中數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
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