題目列表(包括答案和解析)
已知函數
(1) 若函數在上單調,求的值;
(2)若函數在區(qū)間上的最大值是,求的取值范圍.
【解析】第一問,
, 、
第二問中,
由(1)知: 當時, 上單調遞增 滿足條件當時,
解: (1) ……3分
, …………….7分
(2)
由(1)知: 當時, 上單調遞增
滿足條件…………..10分
當時, 且
…………13分
綜上所述:
已知函數f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數f(x)的圖像上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
當時單調遞減;當時單調遞增,故當時,取最小值
于是對一切恒成立,當且僅當. 、
令則
當時,單調遞增;當時,單調遞減.
故當時,取最大值.因此,當且僅當時,①式成立.
綜上所述,的取值集合為.
(Ⅱ)由題意知,令則
令,則.當時,單調遞減;當時,單調遞增.故當,即
從而,又
所以因為函數在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使即成立.
【點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數與方程思想等數學方法.第一問利用導函數法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設存在的情況下進行推理,然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題,通過構造函數,研究這個函數的性質進行分析判斷.
設函數
(1)當時,求曲線處的切線方程;
(2)當時,求的極大值和極小值;
(3)若函數在區(qū)間上是增函數,求實數的取值范圍.
【解析】(1)中,先利用,表示出點的斜率值這樣可以得到切線方程。(2)中,當,再令,利用導數的正負確定單調性,進而得到極值。(3)中,利用函數在給定區(qū)間遞增,說明了在區(qū)間導數恒大于等于零,分離參數求解范圍的思想。
解:(1)當……2分
∴
即為所求切線方程。………………4分
(2)當
令………………6分
∴遞減,在(3,+)遞增
∴的極大值為…………8分
(3)
①若上單調遞增!酀M足要求!10分
②若
∵恒成立,
恒成立,即a>0……………11分
時,不合題意。綜上所述,實數的取值范圍是
已知函數在處取得極值2.
⑴ 求函數的解析式;
⑵ 若函數在區(qū)間上是單調函數,求實數m的取值范圍;
【解析】第一問中利用導數
又f(x)在x=1處取得極值2,所以,
所以
第二問中,
因為,又f(x)的定義域是R,所以由,得-1<x<1,所以f(x)在[-1,1]上單調遞增,在上單調遞減,當f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調遞增,則有,得
解:⑴ 求導,又f(x)在x=1處取得極值2,所以,即,所以…………6分
⑵ 因為,又f(x)的定義域是R,所以由,得-1<x<1,所以f(x)在[-1,1]上單調遞增,在上單調遞減,當f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調遞增,則有,得, …………9分
當f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調遞減,則有
得 …………12分
.綜上所述,當時,f(x)在(m,2m+1)上單調遞增,當時,f(x)在(m,2m+1)上單調遞減;則實數m的取值范圍是或
如圖,,,…,,…是曲線上的點,,,…,,…是軸正半軸上的點,且,,…,,… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形(為坐標原點).
(1)寫出、和之間的等量關系,以及、和之間的等量關系;
(2)求證:();
(3)設,對所有,恒成立,求實數的取值范圍.
【解析】第一問利用有,得到
第二問證明:①當時,可求得,命題成立;②假設當時,命題成立,即有則當時,由歸納假設及,
得
第三問
.………………………2分
因為函數在區(qū)間上單調遞增,所以當時,最大為,即
解:(1)依題意,有,,………………4分
(2)證明:①當時,可求得,命題成立; ……………2分
②假設當時,命題成立,即有,……………………1分
則當時,由歸納假設及,
得.
即
解得(不合題意,舍去)
即當時,命題成立. …………………………………………4分
綜上所述,對所有,. ……………………………1分
(3)
.………………………2分
因為函數在區(qū)間上單調遞增,所以當時,最大為,即
.……………2分
由題意,有. 所以,
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