已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存過(guò)點(diǎn)（2,1）的直線(xiàn)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【解析】第一問(wèn)利用設(shè)橢圓的方程為，由題意得

解得

第二問(wèn)若存在直線(xiàn)滿(mǎn)足條件的方程為，代入橢圓的方程得

．

因?yàn)橹本�(xiàn)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

所以

所以．解得。

解：⑴設(shè)橢圓的方程為，由題意得

解得，故橢圓的方程為．……………………4分

⑵若存在直線(xiàn)滿(mǎn)足條件的方程為，代入橢圓的方程得

．

因?yàn)橹本�(xiàn)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

所以

所以．

又，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912284792138316/SYS201207091229220620471975_ST.files/image009.png">，即，

所以．

即．

所以，解得．

因?yàn)锳,B為不同的兩點(diǎn)，所以k=1/2．

于是存在直線(xiàn)L₁滿(mǎn)足條件，其方程為y=1/2x

 

設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且異于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）若直線(xiàn)與的斜率之積為，求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若，證明直線(xiàn)的斜率 滿(mǎn)足

【解析】(1)解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題意，有  ①

由，得，

由，可得，代入①并整理得

由于，故.于是，所以橢圓的離心率

（2）證明：（方法一）

依題意，直線(xiàn)OP的方程為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

由條件得消去并整理得  ②

由，及，

得.

整理得.而，于是，代入②，

整理得

由，故，因此.

所以.

(方法二)

依題意，直線(xiàn)OP的方程為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

由P在橢圓上，有

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118494193384555_ST.files/image036.png">，，所以，即   ③

由，，得整理得.

于是，代入③，

整理得

解得，

所以.

 

已知m>1，直線(xiàn)，橢圓C：，、分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).

（Ⅰ）當(dāng)直線(xiàn)過(guò)右焦點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)的方程;

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，△A、△B的重心分別為G、H.若原點(diǎn)O在以線(xiàn)段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.[

【解析】第一問(wèn)中因?yàn)橹本�(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，0），所以＝，得.又因?yàn)閙>1，所以，故直線(xiàn)的方程為

第二問(wèn)中設(shè)，由，消去x，得，

則由，知<8,且有

由題意知O為的中點(diǎn).由可知從而，設(shè)M是GH的中點(diǎn)，則M（）.

由題意可知，2|MO|<|GH|,得到范圍

 

設(shè)橢圓 ：（）的一個(gè)頂點(diǎn)為，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率 ，過(guò)橢圓右焦點(diǎn) 的直線(xiàn)  與橢圓 交于 ， 兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在直線(xiàn) ，使得 ，若存在，求出直線(xiàn)  的方程；若不存在，說(shuō)明理由；

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，以及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。（1）中橢圓的頂點(diǎn)為，即又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714546570844292_ST.files/image015.png">，得到，然后求解得到橢圓方程（2）中，對(duì)直線(xiàn)分為兩種情況討論，當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，聯(lián)立方程組，結(jié)合得到結(jié)論。

解：（1）橢圓的頂點(diǎn)為，即

，解得， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 --------4分

（2）由題可知,直線(xiàn)與橢圓必相交.

①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意．                    --------5分

②當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)存在直線(xiàn)為，且，.

由得，       ----------7分

，，               

   = 

所以，                               ----------10分

故直線(xiàn)的方程為或 

即或

 

已知曲線(xiàn)C:(m∈R)

（1）   若曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓，求m的取值范圍；

（2）     設(shè)m=4，曲線(xiàn)c與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線(xiàn)y=kx+4與曲線(xiàn)c交于不同的兩點(diǎn)M、N,直線(xiàn)y=1與直線(xiàn)BM交于點(diǎn)G.求證：A，G，N三點(diǎn)共線(xiàn)。

【解析】（1）曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，當(dāng)且僅當(dāng)解得，所以m的取值范圍是

(2)當(dāng)m=4時(shí)，曲線(xiàn)C的方程為，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為，

由，得

因?yàn)橹本�(xiàn)與曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)，所以

即

設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，則

直線(xiàn)BM的方程為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為

因?yàn)橹本�(xiàn)AN和直線(xiàn)AG的斜率分別為

所以

即,故A，G，N三點(diǎn)共線(xiàn)。