設橢圓的左、右頂點分別為,點在橢圓上且異于兩點,為坐標原點.

(Ⅰ)若直線的斜率之積為,求橢圓的離心率;

(Ⅱ)若,證明直線的斜率 滿足

【解析】(1)解:設點P的坐標為.由題意,有  ①

,得,

,可得,代入①并整理得

由于,故.于是,所以橢圓的離心率

(2)證明:(方法一)

依題意,直線OP的方程為,設點P的坐標為.

由條件得消去并整理得  ②

,

.

整理得.而,于是,代入②,

整理得

,故,因此.

所以.

(方法二)

依題意,直線OP的方程為,設點P的坐標為.

由P在橢圓上,有

因為,所以,即   ③

,,得整理得.

于是,代入③,

整理得

解得

所以.

 

【答案】

(1)     (2)

【考點定位】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點間的距離公式等基礎知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì),以及數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力

 

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
短軸長為2,P(x0,y0)(x0≠±a)是橢圓上一點,A,B分別是橢圓的左、右頂點,直線PA,PB的斜率之積為-
1
4

(1)求橢圓的方程;
(2)當∠F1PF2為鈍角時,求P點橫坐標的取值范圍;
(3)設F1,F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點,M、N是橢圓右準線l上的兩個點,若
F1M
F2N
=0
,求MN的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C1的方程為
x24
+y2=1
,雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)設過定點M(0,2)的直線l與橢圓C1交于不同的兩點A、B,且滿足|OA|2+|OB|2>|AB|2,(其中O為原點),求l斜率的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓=1(a>b>0),其右準線l與x軸交于點A,橢圓的上頂點為B,過它的右焦點F且垂直于長軸的直線交橢圓于點P,直線AB恰經(jīng)過線段FP的中點D.

(Ⅰ)求橢圓的離心率;

(Ⅱ)設橢圓的左、右頂點分別是A1、A2,且=-3,求橢圓方程;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,設Q是橢圓右準線l上異于A的任意一點,直線QA1、QA2與橢圓的另一個交點分別為M、N,求證:直線MN與x軸交于定點.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(本題滿分12分)

已知橢圓的焦點在軸上,中心在原點,離心率,直線和以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓相切.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設橢圓的左、右頂點分別為、,點是橢圓上異于、的任意一點,設直線的斜率分別為、,證明為定值;

(Ⅲ)設橢圓方程、為長軸兩個端點, 為橢圓上異于、的點, 、分別為直線的斜率,利用上面(Ⅱ)的結論得(        )(只需直接寫出結果即可,不必寫出推理過程).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

.(2012年高考天津卷理科19)(本小題滿分14分)設橢圓的左、右頂點分別為,點P在橢圓上且異于

兩點,為坐標原點.

(Ⅰ)若直線的斜率之積為,求橢圓的離心率;

(Ⅱ)若,證明:直線的斜率滿足.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案