題目列表(包括答案和解析)
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m2 |
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已知,(其中)
⑴求及;
⑵試比較與的大小,并說明理由.
【解析】第一問中取,則; …………1分
對等式兩邊求導,得
取,則得到結論
第二問中,要比較與的大小,即比較:與的大小,歸納猜想可得結論當時,;
當時,;
當時,;
猜想:當時,運用數學歸納法證明即可。
解:⑴取,則; …………1分
對等式兩邊求導,得,
取,則。 …………4分
⑵要比較與的大小,即比較:與的大小,
當時,;
當時,;
當時,; …………6分
猜想:當時,,下面用數學歸納法證明:
由上述過程可知,時結論成立,
假設當時結論成立,即,
當時,
而
∴
即時結論也成立,
∴當時,成立。 …………11分
綜上得,當時,;
當時,;
當時,
已知正項數列的前n項和滿足:,
(1)求數列的通項和前n項和;
(2)求數列的前n項和;
(3)證明:不等式 對任意的,都成立.
【解析】第一問中,由于所以
兩式作差,然后得到
從而得到結論
第二問中,利用裂項求和的思想得到結論。
第三問中,
又
結合放縮法得到。
解:(1)∵ ∴
∴
∴ ∴ ………2分
又∵正項數列,∴ ∴
又n=1時,
∴ ∴數列是以1為首項,2為公差的等差數列……………3分
∴ …………………4分
∴ …………………5分
(2) …………………6分
∴
…………………9分
(3)
…………………12分
又
,
∴不等式 對任意的,都成立.
已知數列滿足,
(1)求證:數列是等比數列;
(2)求數列的通項和前n項和.
【解析】第一問中,利用,得到從而得證
第二問中,利用∴ ∴分組求和法得到結論。
解:(1)由題得 ………4分
……………………5分
∴數列是以2為公比,2為首項的等比數列; ……………………6分
(2)∴ ……………………8分
∴ ……………………9分
∴
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