題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù) R).
(Ⅰ)若 ,求曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的的切線(xiàn)方程;
(Ⅱ)若 對(duì)任意 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
第一問(wèn)中,利用當(dāng)時(shí),.
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(), 則,
所以在點(diǎn)()處的曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為:
第二問(wèn)中,由題意得,即即可。
Ⅰ)當(dāng)時(shí),.
,
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(), 則,
所以在點(diǎn)()處的曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為:. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">,所以恒成立,
故在上單調(diào)遞增, ……12分
要使恒成立,則,解得.……15分
解法二: ……7分
(1)當(dāng)時(shí),在上恒成立,
故在上單調(diào)遞增,
即. ……10分
(2)當(dāng)時(shí),令,對(duì)稱(chēng)軸,
則在上單調(diào)遞增,又
① 當(dāng),即時(shí),在上恒成立,
所以在單調(diào)遞增,
即,不合題意,舍去
②當(dāng)時(shí),, 不合題意,舍去 14分
綜上所述:
已知遞增等差數(shù)列滿(mǎn)足:,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若不等式對(duì)任意恒成立,試猜想出實(shí)數(shù)的最小值,并證明.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問(wèn)中,利用設(shè)數(shù)列公差為,
由題意可知,即,解得d,得到通項(xiàng)公式,第二問(wèn)中,不等式等價(jià)于,利用當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。
解:(1)設(shè)數(shù)列公差為,由題意可知,即,
解得或(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等價(jià)于,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
而,所以猜想,的最小值為. …………8分
下證不等式對(duì)任意恒成立.
方法一:數(shù)學(xué)歸納法.
當(dāng)時(shí),,成立.
假設(shè)當(dāng)時(shí),不等式成立,
當(dāng)時(shí),, …………10分
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,顯然成立.所以,對(duì)任意,不等式恒成立.…14分
方法二:?jiǎn)握{(diào)性證明.
要證
只要證 ,
設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式, …………10分
, …………12分
所以對(duì),都有,可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.
而,所以恒成立,
故的最小值為.
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