2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(一)
數(shù) 學(理 科) 2009.3
本試卷共4頁,21小題, 滿分150分。 考試用時120分鐘。
注意事項:
1.答卷前,考生務必用2B鉛筆在“考生號”處填涂考生號,用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的市、縣/區(qū)、學校,以及自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡。用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應位置上。
2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上。
3. 非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4.作答選做題時,請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點,再作答。漏涂、錯涂、多涂的,答案無效。
5.考生必須保持答題卡的整潔?荚嚱Y(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回。
參考公式:
錐體的體積公式, 其中是錐體的底面積, 是錐體的高.
如果事件、互斥,那么.
如果事件、相互獨立,那么.
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.函數(shù)的最小正周期為
A. B. C. D.
2.已知i(1i)(i為虛數(shù)單位),則復數(shù)在復平面上所對應的點位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.某商場在國慶黃金周的促銷活動中,對10月2號9時至14時
的銷售額進行統(tǒng)計,其頻率分布直方圖如圖1所示.已知9時
至10時的銷售額為2.5萬元,則11時至12時的銷售額為
A. 萬元 B. 萬元
C. 萬元 D.萬元
4.已知過、兩點的直線與直線平行,
則的值為
A. B.
C. D.
若輸出的的值等于,那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)應填寫的條件是
A.? B. ?
C. ? D. ?
6.已知:關于的不等式的解集是R,
:,則是的
A.充分非必要條件 B.必要非充分條件
C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件
7.在中,若,則自然數(shù)的值是
A.7
B.
8.在區(qū)間上任意取兩個實數(shù),則函數(shù)在區(qū)間上有且僅
一個零點的概率為
A. B. C. D.
二、填空題:本大題共7小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分30分.
(一)必做題(9~12題)
9. 若,則 .
10.若d=1, 則實數(shù)的值是 .
11.一個幾何體的三視圖及其尺寸(單位:cm)如圖3所示,
則該幾何體的側(cè)面積為 cm.
12.已知數(shù)列的前項和為,對任意N都有,
且( N),則的值為 ,的值為 .
(二)選做題(13~15題,考生只能從中選做兩題)
13.(坐標系與參數(shù)方程選做題)在極坐標系中,直線被圓截得的弦長為__ .
14.(幾何證明選講選做題)已知是圓(為圓心)的切線,切點為,交圓于
兩點,,則線段的長為 .
15.(不等式選講選做題)已知R,且,則實數(shù)的取值范圍為_____________.
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16.(本小題滿分12分)
已知△的內(nèi)角所對的邊分別為且.
(1)若, 求的值;
(2) 若△的面積 求的值.
17.(本小題滿分14分)
甲、乙兩名同學參加一項射擊游戲,兩人約定,其中任何一人每射擊一次,擊中目標得2分,未擊中目標得0分. 若甲、乙兩名同學射擊的命中率分別為和, 且甲、乙兩人各射擊一次所得分數(shù)之和為2的概率為.假設甲、乙兩人射擊互不影響.
(1)求的值;
(2)記甲、乙兩人各射擊一次所得分數(shù)之和為,求的分布列和數(shù)學期望.
18. (本小題滿分14分)
如圖4, 在三棱錐中,平面,,
分別是棱的中點,連接.
(1) 求證: 平面平面;
(2) 若, 當三棱錐的體積最大時,
求二面角的平面角的余弦值.
圖4
19.(本小題滿分12分)
某車間有50名工人,要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務,每件產(chǎn)品由3個型零件和1個型零件配套組成.每個工人每小時能加工5個型零件或者3個型零件,現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時工作(分組后人數(shù)不再進行調(diào)整),每組加工同一種型號的零件.設加工型零件的工人人數(shù)為名(N).
(1)設完成型零件加工所需時間為小時,寫出的解析式;
(2)為了在最短時間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務,應取何值?
20.(本小題滿分14分)
已知動圓過點,且與圓相內(nèi)切.
(1)求動圓的圓心的軌跡方程;
(2)設直線(其中與(1)中所求軌跡交于不同兩點,D,與雙曲線交于不同兩點,問是否存在直線,使得向量,若存在,指出這樣的直線有多少條?若不存在,請說明理由.
21. (本小題滿分14分)
已知數(shù)列的相鄰兩項是關于的方程N的兩根,且
.
(1) 求數(shù)列和的通項公式;
(2) 設是數(shù)列的前項和, 問是否存在常數(shù),使得對任意N都成立,若存在, 求出的取值范圍; 若不存在, 請說明理由.
2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(一)
說明:1.參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與參考答案不同,可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數(shù).
2.對解答題中的計算題,當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時,如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定后繼部分的得分,但所給分數(shù)不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半;如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤,就不再給分.
3.解答右端所注分數(shù),表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù).
4.只給整數(shù)分數(shù),選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題:本大題主要考查基本知識和基本運算.共8小題,每小題5分,滿分40分.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
D
A
C
B
D
二、填空題:本大題主要考查基本知識和基本運算.本大題共7小題,每小題5分,滿分30分.其中13~15是選做題,考生只能選做兩題. 第12題第一個空2分,第二個空3分.
9. 10. 11. 12.-1;4 13.
14.1 15.
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16.(本小題滿分12分)
(本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關系等基礎知識,考查運算求解能力)
解: (1)∵, 且,
∴ .
由正弦定理得.
∴.
(2)∵
∴.
∴ .
由余弦定理得,
∴.
17.(本小題滿分14分)
(本小題主要考查概率、隨機變量的分布列及其數(shù)學期望等基礎知識,考查運算求解能力)
解:(1)記“甲射擊一次,擊中目標”為事件,“乙射擊一次,擊中目標”為事件,“甲射擊一次,
未擊中目標”為事件,“乙射擊一次,未擊中目標”為事件,
則,.
依題意得,
解得.
故的值為.
(2)的取值分別為.
,
,
,
的分布列為
0
2
4
18.(本小題滿分14分)
(本小題主要考查空間中線面的位置關系、空間的角、幾何體體積等基礎知識,考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力)
(1) 證明: ∵分別是棱的中點,
∴是△的中位線.
∴.
∵平面平面
∴平面.
同理可證 平面.
∵平面,平面,
∴平面// 平面.
(2) 求三棱錐的體積的最大值, 給出如下兩種解法:
解法1: 由已知平面, ,
∴.
∴三棱錐的體積為
.
當且僅當時等號成立,取得最大值,其值為, 此時.
解法2:設,在Rt△中,.
∴三棱錐的體積為
.
∵,
∴ 當,即時,取得最大值,其值為,此時.
求二面角的平面角的余弦值, 給出如下兩種解法:
解法1:作,垂足為, 連接.
∵ 平面,平面平面,
∴ 平面.
∵ 平面,
∴ .
∵ ,
∴ 平面.
∵平面,
∴.
∴ 是二面角的平面角.
在Rt△中,,
∴.
在Rt△中,,
.
∴二面角的平面角的余弦值為.
解法2:分別以所在直線為軸, 軸, 軸,建立如圖的空間直角坐標系,
則.
∴.
設n為平面的法向量,
∴
即
令, 則.
∴為平面的一個法向量.
∵平面的一個法向量為,
∴.
∴二面角的平面角的余弦值為.
19.(本小題滿分12分)
(本小題主要考查函數(shù)最值、不等式、導數(shù)及其應用等基礎知識,考查分類與整合的數(shù)學思想方法,以及運算求解能力和應用意識)
解:(1)生產(chǎn)150件產(chǎn)品,需加工型零件450個,
則完成型零件加工所需時間N,且.
(2)生產(chǎn)150件產(chǎn)品,需加工型零件150個,
則完成型零件加工所需時間N,且.
設完成全部生產(chǎn)任務所需時間為小時,則為與的較大者.
令,即,
解得.
所以,當時,;當時,.
故.
當時,,故在上單調(diào)遞減,
則在上的最小值為(小時);
當時,,故在上單調(diào)遞增,
則在上的最小值為(小時);
,
在上的最小值為.
.
答:為了在最短時間內(nèi)完成生產(chǎn)任務,應取.
20.(本小題滿分14分)
(本小題主要考查圓、橢圓、直線等基礎知識和數(shù)學探究,考查數(shù)形結(jié)合、分類與整合的數(shù)學思想方法,以及推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識)
解:(1)圓, 圓心的坐標為,半徑.
∵,
∴點在圓內(nèi).
設動圓的半徑為,圓心為,依題意得,且,
即.
∴圓心的軌跡是中心在原點,以兩點為焦點,長軸長為的橢圓,設其方程為
, 則.
∴.
∴所求動圓的圓心的軌跡方程為.
(2)由 消去化簡整理得:.
設,,則.
△. ①
由 消去化簡整理得:.
設,則,
△. ②
∵,
∴,即,
∴.
∴或.
解得或.
當時,由①、②得 ,
∵Z,
∴的值為 ,,;
當,由①、②得 ,
∵Z,
∴.
∴滿足條件的直線共有9條.
21.(本小題滿分14分)
(本小題主要考查數(shù)列的通項公式、數(shù)列前項和、不等式等基礎知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊與一般的數(shù)學思想方法,以及推理論證能力、運算求解能力和抽象概括能力)
解: (1) ∵是關于的方程N的兩根,
∴
求數(shù)列的通項公式, 給出如下四種解法:
解法1: 由,得,
故數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.
∴, 即.
解法2: 由,兩邊同除以, 得,
令, 則.
故
.
且也適合上式,
∴, 即.
解法3: 由,得,
兩式相減得.
當為正奇數(shù)時,
.
且也適合上式.
當為正偶數(shù)時,
.
且也適合上式.
∴ 當N時,.
解法4:由,,得,
.
猜想.
下面用數(shù)學歸納法證明猜想正確.
① 當時,易知猜想成立;
② 假設當N)時,猜想成立,即,
由,得,
故當時,猜想也成立.
由①、②得,對任意N,.
∴
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